Seja V um espaço vetorial e W1 e W2 subespaços de V. Mostre que os conjuntos W1 cap W2 e W1+W2=v=w1+w2 mid w1 in W1 e w2 in W2 são subespaços vetoriais de V.

Passo 1

Temos um espaço vetorial V e dois subespaços W1 e W2. Precisamos mostrar que
  1. o conjunto W1cap W2 e
  2. o conjunto
W1+W2=,v=w1+w2mid w1in W1,,w2in W2
são subespaços vetoriais de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço: mostrar que cada um contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostrando que W1cap W2 é subespaço:
  1. Zero: como W1 e W2 são subespaços, tem 0in W1 e 0in W2. Logo 0in W1cap W2.
  2. Fechamento na soma: seja u,vin W1cap W2. Então u,vin W1 e u,vin W2. Como W1 e W2 são fechados na soma, temos u+vin W1 e u+vin W2. Portanto u+vin W1cap W2.
  3. Fechamento em escalares: seja alphainK e uin W1cap W2. Então uin W1 e uin W2. Como cada Wi é subespaço, alpha uin W1 e alpha uin W2. Logo alpha uin W1cap W2.

Passo 3

Mostrando que W1+W2 é subespaço:
  1. Zero: escrevemos
0 = 0W1 + 0W2,
onde 0W1=0Vin W1 e 0W2=0Vin W2. Então 0in W1+W2.
2. Fechamento na soma: sejam
v = w1+w2, v' = w1'+w2'
com w1,w1'in W1 e w2,w2'in W2. Então
v+v' = (w1+w1') + (w2+w2')
Como W1 e W2 são fechados na soma, w1+w1'in W1 e w2+w2'in W2. Logo v+v'in W1+W2.
3. Fechamento em escalares: seja alphainK e v = w1+w2. Então
alpha v = alpha w1 + alpha w2
Como W1 e W2 são fechados na multiplicação escalar, alpha w1in W1 e alpha w2in W2. Logo alpha vin W1+W2.

Resposta

Tanto W1cap W2 quanto W1+W2 satisfazem os três requisitos de subespaço (contêm 0, são fechados sob soma e sob multiplicação escalar), logo ambos são subespaços de V.

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