Seja
um espaço vetorial e
e
subespaços de
. Mostre que os conjuntos
e
e
são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
Temos um espaço vetorial
e dois subespaços
e
. Precisamos mostrar que
- o conjunto
e - o conjunto
são subespaços vetoriais de
. Para isso, vamos usar o teste de subespaço: mostrar que cada um contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostrando que
é subespaço:
- Zero: como
e são subespaços, tem e . Logo . - Fechamento na soma: seja
. Então e . Como e são fechados na soma, temos e . Portanto . - Fechamento em escalares: seja
e . Então e . Como cada é subespaço, e . Logo .
Passo 3
Mostrando que
é subespaço:
- Zero: escrevemos
onde
e
. Então
.
2. Fechamento na soma: sejam
2. Fechamento na soma: sejam
com
e
. Então
Como
e
são fechados na soma,
e
. Logo
.
3. Fechamento em escalares: seja e
. Então
3. Fechamento em escalares: seja
Como
e
são fechados na multiplicação escalar,
e
. Logo
.
Resposta
Tanto
quanto
satisfazem os três requisitos de subespaço (contêm
, são fechados sob soma e sob multiplicação escalar), logo ambos são subespaços de
.