Exercício 5 Seja
um espaço vetorial sobre
tal que
. Prove que
vetores que geram
formam uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
sobre
com
e um conjunto de
vetores que gera
. Queremos mostrar que esse conjunto é uma base de
, ou seja, além de gerar, é linearmente independente. Para isso vamos usar fatos sobre dimensão, cardinalidade de conjuntos geradores e dependência linear.
Passo 2
Em um espaço vetorial de dimensão
vale o fato: não existe conjunto gerador com menos de
vetores. Se houvesse, poderíamos estender esse conjunto a uma base com menos de
vetores, contradizendo
. Como nosso conjunto gera
e tem exatamente
vetores, ele é minimal: remover qualquer vetor deixaria apenas
vetores, que não poderiam gerar
.
Passo 3
Um conjunto gerador minimal em um espaço vetorial é necessariamente linearmente independente. A razão é: se ele fosse linearmente dependente, pelo menos um vetor poderia ser escrito como combinação linear dos outros; então remover esse vetor ainda deixaria um conjunto que gera
, contradizendo a minimalidade.
Passo 4
Concluímos que nosso conjunto de
vetores gera
e é linearmente independente. Portanto, por definição, ele é uma base de
.
Resposta
Os
vetores formam uma base de
, pois geram o espaço e são linearmente independentes.