Exercício 5 Seja V um espaço vetorial sobre R tal que dimR V=n. Prove que n vetores que geram V formam uma base de V.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V sobre R com dim V=n e um conjunto de n vetores que gera V. Queremos mostrar que esse conjunto é uma base de V, ou seja, além de gerar, é linearmente independente. Para isso vamos usar fatos sobre dimensão, cardinalidade de conjuntos geradores e dependência linear.

Passo 2

Em um espaço vetorial de dimensão n vale o fato: não existe conjunto gerador com menos de n vetores. Se houvesse, poderíamos estender esse conjunto a uma base com menos de n vetores, contradizendo dim V=n. Como nosso conjunto gera V e tem exatamente n vetores, ele é minimal: remover qualquer vetor deixaria apenas n-1<n vetores, que não poderiam gerar V.

Passo 3

Um conjunto gerador minimal em um espaço vetorial é necessariamente linearmente independente. A razão é: se ele fosse linearmente dependente, pelo menos um vetor poderia ser escrito como combinação linear dos outros; então remover esse vetor ainda deixaria um conjunto que gera V, contradizendo a minimalidade.

Passo 4

Concluímos que nosso conjunto de n vetores gera V e é linearmente independente. Portanto, por definição, ele é uma base de V.

Resposta

Os n vetores formam uma base de V, pois geram o espaço e são linearmente independentes.

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