Prove que
é linear. Determine as bases para o núcleo e a imagem da transformação.
Passo 1
O enunciado define a transformação
Precisamos (1) provar que
é linear, ou seja, verificar aditividade e homogeneidade, (2) determinar uma base de
e (3) determinar uma base de
.
Passo 2
Verificamos aditividade: sejam
e
em
. Então
Passo 3
Verificamos homogeneidade: seja
e
. Então
Logo
é linear.
Passo 4
Para achar
Da segunda equação
. A terceira fica
, já satisfeita. A componente
é livre. Assim
Logo
Passo 5
Para
, aplicamos
aos vetores da base canônica de
:
Então
Observe que
logo dois vetores já geram toda a imagem. Por exemplo,
Resposta
Base de
:
.
Base de :
.
Base de