Prove que T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z, w)=(x+y, x-z, y+z) é linear. Determine as bases para o núcleo e a imagem da transformação.

Passo 1

O enunciado define a transformação
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}, \quad T(x,y,z,w)=(x+y,\;x-z,\;y+z).
Precisamos (1) provar que T é linear, ou seja, verificar aditividade e homogeneidade, (2) determinar uma base de \ker T e (3) determinar uma base de \operatorname{Im}T.

Passo 2

Verificamos aditividade: sejam (x_{1},y_{1},z_{1},w_{1}) e (x_{2},y_{2},z_{2},w_{2}) em \mathbb{R}^{4}. Então
T\bigl((x_{1},y_{1},z_{1},w_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2},w_{2})\bigr) =T(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2},w_{1}+w_{2})
=\bigl((x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2}),\,(x_{1}+x_{2})-(z_{1}+z_{2}),\,(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})\bigr)
=(x_{1}+y_{1},\,x_{1}-z_{1},\,y_{1}+z_{1}) +(x_{2}+y_{2},\,x_{2}-z_{2},\,y_{2}+z_{2}) =T(x_{1},y_{1},z_{1},w_{1})+T(x_{2},y_{2},z_{2},w_{2}).

Passo 3

Verificamos homogeneidade: seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}. Então
T\bigl(\lambda(x,y,z,w)\bigr) =T(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w) =(\lambda x+\lambda y,\;\lambda x-\lambda z,\;\lambda y+\lambda z)
=\lambda(x+y,\;x-z,\;y+z) =\lambda\,T(x,y,z,w).
Logo T é linear.

Passo 4

Para achar \ker T\), resolvemos \[T(x,y,z,w)=(0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} x+y=0,\\\ x-z=0,\\\ y+z=0. \end{cases}
Da segunda equação z=x\]. Da primeira \(y=-x. A terceira fica -x+x=0, já satisfeita. A componente w é livre. Assim
(x,y,z,w)=(x,\,-x,\,x,\,w) =x\,(1,-1,1,0)+w\,(0,0,0,1).
Logo
\ker T = \operatorname{span}\{(1,-1,1,0),\,(0,0,0,1)\}.

Passo 5

Para \operatorname{Im}T, aplicamos T aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^4:
T(1,0,0,0)=(1,1,0),\quad T(0,1,0,0)=(1,0,1),\quad T(0,0,1,0)=(0,-1,1),\quad T(0,0,0,1)=(0,0,0).
Então
\operatorname{Im}T = \operatorname{span}\{(1,1,0),(1,0,1),(0,-1,1)\}.
Observe que
(0,-1,1) = (1,0,1)-(1,1,0),
logo dois vetores já geram toda a imagem. Por exemplo,
\operatorname{Im}T = \operatorname{span}\{(1,1,0),(1,0,1)\}.

Resposta

Base de \ker T: \{(1,-1,1,0),\,(0,0,0,1)\}.
Base de \operatorname{Im}T: \{(1,1,0),\,(1,0,1)\}.

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