Verifique se X=\left\{(x, y) / x^{2}-y^{2}, x, y \in \mathbb{R}\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
X = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 = 0\}
e pede para ver se X é um subespaço de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos aplicar o teste de subespaço:
  1. Verificar se o vetor zero está em X.
  2. Verificar se X é fechado sob multiplicação por escalar.
  3. Verificar se X é fechado sob adição (basta achar um contra-exemplo se falhar).

Passo 2

Testando o vetor zero:
(0,0)\in X?
Calculamos 0^2 - 0^2 = 0. Como isso satisfaz a condição x^2 - y^2 = 0, temos
(0,0)\in X.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja (x,y)\in X e \alpha\in\mathbb{R}. Então x^2 - y^2 = 0. Para \alpha(x,y) = (\alpha x,\alpha y) temos
(\alpha x)^2 - (\alpha y)^2 = \alpha^2\bigl(x^2 - y^2\bigr) = \alpha^2\cdot 0 = 0,
logo \alpha(x,y)\in X. Portanto X é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Fechamento sob adição. Vamos escolher dois vetores em X e somá-los:
Tome v=(1,1) e w=(1,-1). Ambos satisfazem
1^2 - 1^2 = 0 \quad\text{e}\quad 1^2 - (-1)^2 = 0,
então v,w\in X. Mas
v + w = (1,1) + (1,-1) = (2,0),
e para (2,0) temos
2^2 - 0^2 = 4 \neq 0.
Logo v + w\notin X, o que quebra o fechamento sob adição.

Resposta

X não é subespaço de \mathbb{R}^2.

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