Exiba uma curva contínua que liga os pontos P_{0}=(0,0,0) e P_{1}= (1,1,0) e que não intercepta a reta x+y=1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede uma curva contínua em \mathbb{R}^3 que ligue
P_{0}=(0,0,0) \quad\text{e}\quad P_{1}=(1,1,0)
sem interceptar a reta (no plano z=0) dada por
x+y=\tfrac12,\;z=0.
O conteúdo aqui é construção de trajetória em \mathbb{R}^3 que “salta” sobre a reta, usando a dimensão z.

Passo 2

Para evitar a reta em z=0, a ideia é elevar a curva para valores de z\neq0 exatamente quando x+y=\tfrac12. Assim, projetando no plano xy a curva segue de (0,0) a (1,1) passando pela soma x+y=\tfrac12, mas no espaço é elevada para não tocar a reta.

Passo 3

Definimos a curva paramétrica \gamma\colon[0,1]\to\mathbb{R}^3 por
\gamma(t) = \bigl(t,\;t,\;t(1-t)\bigr).
Essa curva é polinomial em t, logo contínua, e satisfaz
\gamma(0) = (0,0,0)=P_0, \quad \gamma(1) = (1,1,0)=P_1.

Passo 4

Verificamos que \gamma não intercepta a reta x+y=\tfrac12,\;z=0. Se houvesse interseção, deveríamos ter simultaneamente
x+y = 2t = \tfrac12 \quad\text{e}\quad z = t(1-t)=0.
A equação 2t=\tfrac12 t=\tfrac14. Mas em t=\tfrac14 temos
z = \tfrac14\bigl(1-\tfrac14\bigr)=\tfrac14\cdot\tfrac34=\tfrac{3}{16}\neq0.
Portanto, no único parâmetro em que x+y=\tfrac12, a coordenada z não é zero, de modo que \gamma(t) jamais atinge a reta.

Resposta

Uma curva contínua que satisfaz é, por exemplo,
\gamma(t) = \bigl(t,\;t,\;t(1-t)\bigr),\quad t\in[0,1].

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