Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ).
( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n}} é absolutamente convergente;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}}
é absolutamente convergente. O conteúdo usado será o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Seja a_n = \frac{n}{e^n}. Aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{e^{\,n+1}}}{\frac{n}{e^n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e}.

Passo 3

Como \frac{1}{e}<1, o teste da razão garante que a série converge.

Resposta

V

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