Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ).
( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{5^{n-1}} é convergente e seu valor é \frac{9}{4};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{5^{\,n-1}}\Bigr)
é convergente e se seu valor é \tfrac{9}{4}. O conteúdo envolve séries telescópicas e séries geométricas.

Passo 2

Separemos a soma em duas partes:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr) \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{\,n-1}}.

Passo 3

Para a parte telescópica, o somatório parcial até N é
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr) =1-\frac{1}{N+1}.
Fazendo N\to\infty, esse valor tende a
1-\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=1.

Passo 4

A segunda parte é uma série geométrica de primeiro termo a=1/5^{0}=1 e razão r=1/5. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{\,n-1}} =\frac{a}{1-r} =\frac{1}{1-\tfrac{1}{5}} =\frac{1}{\tfrac{4}{5}} =\frac{5}{4}.

Passo 5

Somando as duas partes obtemos
1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}.
Logo, a série é convergente e seu valor é \tfrac{9}{4}.

Resposta

V

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