Exiba os máximos e mínimos locais e/ou globais e os pontos de sela da função, se existirem, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais e globais e os pontos de sela da função de duas variáveis f(x,y)=x³+y³−6x−6y+4. Esse é um problema típico de otimização em duas variáveis: precisamos calcular as derivadas parciais, resolver o sistema para pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de f e achar os pontos críticos. As derivadas são
Igualando a zero cada uma, temos 3x²−6=0 ⇒ x²=2 ⇒ x=±√2 e 3y²−6=0 ⇒ y=±√2. Logo os pontos críticos são (√2,√2), (√2,−√2), (−√2,√2) e (−√2,−√2).
Passo 3
Escrever a matriz Hessiana de f e avaliar em cada ponto para classificação. A Hessiana é
O discriminante D=det(H)=36xy. Em cada ponto:
(√2,√2): D=36·2>0 e f_{xx}=6√2>0 ⇒ mínimo local.
(−√2,−√2): D=36·(+2)>0 e f_{xx}=6(−√2)<0 ⇒ máximo local.
(√2,−√2) e (−√2,√2): D=36·(−2)<0 ⇒ ponto de sela.
(√2,√2): D=36·2>0 e f_{xx}=6√2>0 ⇒ mínimo local.
(−√2,−√2): D=36·(+2)>0 e f_{xx}=6(−√2)<0 ⇒ máximo local.
(√2,−√2) e (−√2,√2): D=36·(−2)<0 ⇒ ponto de sela.
Passo 4
Analisar extremos globais. Como x³ e y³ dominam e vão a +∞ e −∞, f não admite nem mínimo global nem máximo global.
Passo 5
Concluindo: há um mínimo local em (√2,√2), um máximo local em (−√2,−√2) e dois pontos de sela em (√2,−√2) e (−√2,√2). Não existem extremos globais.
Resposta
Mínimo local: (√2,√2)
Máximo local: (−√2,−√2)
Pontos de sela: (√2,−√2) e (−√2,√2)
Não há mínimos ou máximos globais.
Máximo local: (−√2,−√2)
Pontos de sela: (√2,−√2) e (−√2,√2)
Não há mínimos ou máximos globais.