Verifique se existem máximos e/ou mínimos das funções dadas nos conjuntos especificados:
f(x, y)=x+y e x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede pra gente ver se a função f(x,y)=x+y tem máximos ou mínimos no disco D:,x^2+y^2<=1. Isso cai no tema de extrema de funções com restrição (função contínua em conjunto compacto) e vamos precisar usar o Teorema do Valor Extremo e, depois, Lagrange para a fronteira.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Extremo, como f é contínua e D é compacto, f alcança máximo e mínimo em D. Primeiro checamos interior: procuramos pontos críticos sem restrição, ou seja, onde nabla f=(1,1)=0. Não há solução, pois (1,1)neq(0,0). Logo, nenhuma extrema no interior.

Passo 3

Agora focamos na fronteira x^2+y^2=1. Aplicamos multiplicadores de Lagrange: definimos g(x,y)=x^2+y^2-1=0 e exigimos
nabla f=lambdanabla gLongrightarrow(1,1)=lambda(2x,2y)

Passo 4

Das componentes vem o sistema
1=2lambda x,1=2lambda y, x^2+y^2=1

Passo 5

Das duas primeiras igualdades concluímos 2lambda x=2lambda y, então x=y. Substituindo em x^2+y^2=1 2x^2=1, ou seja, x=y=pm1/raiz2.

Passo 6

Avaliamo-os em f:
fl(1/raiz2,1/raiz2r)=tfrac1raiz2+tfrac1raiz2=raiz2,
fl(-1/raiz2,-1/raiz2r)=-tfrac1raiz2-tfrac1raiz2=-raiz2

Passo 7

Assim, o máximo de f em D é raiz2 em (1/raiz2,1/raiz2) e o mínimo é -raiz2 em (-1/raiz2,-1/raiz2).

Resposta

Máximo f=raiz2 em (1/raiz2,1/raiz2); mínimo f=-raiz2 em (-1/raiz2,-1/raiz2).

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