Verifique se existem máximos e/ou mínimos das funções dadas nos conjuntos especificados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente ver se a função
tem máximos ou mínimos no disco
. Isso cai no tema de extrema de funções com restrição (função contínua em conjunto compacto) e vamos precisar usar o Teorema do Valor Extremo e, depois, Lagrange para a fronteira.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Extremo, como
é contínua e
é compacto,
alcança máximo e mínimo em
. Primeiro checamos interior: procuramos pontos críticos sem restrição, ou seja, onde
. Não há solução, pois
. Logo, nenhuma extrema no interior.
Passo 3
Agora focamos na fronteira
. Aplicamos multiplicadores de Lagrange: definimos
e exigimos
Passo 4
Das componentes vem o sistema
Passo 5
Das duas primeiras igualdades concluímos
, então
. Substituindo em
dá
, ou seja,
.
Passo 6
Avaliamo-os em
:
Passo 7
Assim, o máximo de
em
é
em
e o mínimo é
em
.
Resposta
Máximo
em
; mínimo
em
.