De um losango A B C D sabemos que A(1,0,2), B(2,-1,2) e a diagonal A C é paralela ao vetor u= (-1,2,2). Determine as coordenadas dos outros vértices.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um losango ABCD em R^3 com
A=(1,0,2), B=(2,-1,2)
e a diagonal AC é paralela a u=(-1,2,2).
Vamos usar dois fatos:
  1. Em todo paralelogramo (e, portanto, em todo losango) vale
A + C = B + D
  1. Num losango todos os lados têm mesma medida, ou seja, lvert ABrvert=lvert BCrvert.

Passo 2

Como ACparal<=lu, escrevemos
C = A + t,u
para algum escalar t.
Do fato de paralelogramo A+C=B+D segue
D = A + C - B

Passo 3

Impondo lvert ABrvert=lvert BCrvert:
AB = B - A = (2,-1,2)-(1,0,2) = (1,-1,0),
BC = C - B = l(A-Br) + t,u = w + t,u, w = A-B = (-1,1,0)
A condição lvert w + t,urvert^2 = lvert wrvert^2
2t,wcdotu + t^2,ucdotu = 0
Como wcdotu=3 e ucdotu=9, resulta
6t + 9t^2 = 0 Longrightarrow t = -tfrac23
(saltamos a solução trivial t=0, que daria C=A).

Passo 4

Substituindo t=-tfrac23 em C = A + t,u obtemos
C = (1,0,2) + l(-tfrac23r),(-1,2,2) = l(tfrac53,,-tfrac43,,tfrac23r)
Em seguida
D = A + C - B = (1,0,2) + l(tfrac53, -tfrac43, tfrac23r) - (2,-1,2) = l(tfrac23,,-tfrac13,,tfrac23r)

Resposta

C = l(tfrac53,,-tfrac43,,tfrac23r),
D = l(tfrac23,,-tfrac13,,tfrac23r).

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