Para cada um dos sistemas lineares abaixo, encontre as matrizes A e \mathbf{b} do sistema e resolva cada um dos sistemas por dois métodos: método da matriz inversa e regra de Cramer. \left\{\begin{array}{r}x+2 y+z=1 \\\\ 2 x+3 y-z=2 \\\\ -x-y+z=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear com três equações e três incógnitas e pede duas coisas:
Encontrar as matrizes A e \mathbf{b} associadas ao sistema.
Resolver o sistema por dois métodos: método da matriz inversa e regra de Cramer.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} x+2y+z=1,\\[4pt] 2x+3y-z=2,\\[4pt] - x - y + z=3.]
Passo 2
Escrevendo o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, identificam-se A (matriz dos coeficientes), \mathbf{x} (vetor das incógnitas) e \mathbf{b} (termos independentes). Assim:
Conclusão: \det(A)=1\neq0. Então existe inversa e a regra de Cramer é aplicável. (Além disso, como \det(A)=1, se usarmos a fórmula \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} não haverá divisão por outro número além de 1.)]
Passo 4
Método 1 — encontrar A^{-1} (fórmula via adjunta/cofatores). A fórmula geral para matriz invertível 3\times3 é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A.
Calculamos os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} onde M_{ij} é o menor correspondente.
Menores e cofatores linha a linha:
Para (i,j)=(1,1): M_{11}=\begin{vmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{vmatrix}=2, logo C_{11}=+2.
Para (1,2): M_{12}=\begin{vmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{vmatrix}=1, logo C_{12}=-1 (sinal negativo porque 1+2 é ímpar).
Para (1,3): M_{13}=\begin{vmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & -1\end{vmatrix}=1, logo C_{13}=+1.
Para (2,1): M_{21}=\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{vmatrix}=3, logo C_{21}=-3 (sinal negativo).
Para (2,2): M_{22}=\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{vmatrix}=2, logo C_{22}=+2.
Para (2,3): M_{23}=\begin{vmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & -1\end{vmatrix}=1, logo C_{23}=-1.
Para (3,1): M_{31}=\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & -1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot3=-2-3=-5, logo C_{31}=-5 (sinal positivo porque 3+1 é par).
Para (3,2): M_{32}=\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & -1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot2=-1-2=-3, logo C_{32}=+3 (sinal negativo aplicado: -1 vezes -3 dá +3).
Para (3,3): M_{33}=\begin{vmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 3\end{vmatrix}=1\cdot3-2\cdot2=3-4=-1, logo C_{33}=-1.
Cramer dá a mesma solução (x,y,z)=(-19,\,12,\,-4).]
Passo 7
Resumo e checagem rápida: as duas técnicas (inversa e Cramer) concordam; substituindo os valores na equação original verifica-se que as três equações são satisfeitas: