Exibir uma base de
.
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos uma base de
, o espaço vetorial de todas as transformações lineares de
em
.
Conteúdo: álgebra linear sobre , representação matricial de operadores lineares e conceito de dimensão e base de um espaço vetorial.
Conteúdo: álgebra linear sobre
Passo 2
Observamos que toda transformação linear
pode ser representada por uma matriz
com entradas em
. Logo
e sabemos que
.
Passo 3
Para construir uma base de
, basta apresentar quatro matrizes
linearmente independentes que gerem todo o espaço. Uma escolha padrão são as matrizes que têm exatamente uma entrada igual a
e as demais iguais a
.
Passo 4
Definimos
Essas quatro matrizes são linearmente independentes e, por construção, qualquer matriz pode ser escrita como
Resposta
Uma base de
é
onde as
são as matrizes com
na posição
e
nas demais entradas.