Exibir uma base de L(C^2, C^2).

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos uma base de L(C^2,C^2), o espaço vetorial de todas as transformações lineares de C^2 em C^2.
Conteúdo: álgebra linear sobre C, representação matricial de operadores lineares e conceito de dimensão e base de um espaço vetorial.

Passo 2

Observamos que toda transformação linear T:C^2toC^2 pode ser representada por uma matriz 2times2 com entradas em C. Logo
L(C^2,C^2)cong M2(C),
e sabemos que dim M2(C)=4.

Passo 3

Para construir uma base de M2(C), basta apresentar quatro matrizes 2times2 linearmente independentes que gerem todo o espaço. Uma escolha padrão são as matrizes que têm exatamente uma entrada igual a 1 e as demais iguais a 0.

Passo 4

Definimos
Essas quatro matrizes são linearmente independentes e, por construção, qualquer matriz pode ser escrita como

Resposta

Uma base de L(C^2,C^2) é
lE11,,E12,,E21,,E22r,
onde as Eij são as matrizes com 1 na posição (i,j) e 0 nas demais entradas.

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