Mostre que se
e
são isomorfos e que se
e
são isomorfos, então
é isomorfo a
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos duas bijeções lineares (isomorfismos)
e pede para mostrar que isso induz um isomorfismo
O conteúdo é o fato de que pré- e pós-composição por isomorfismos é um isomorfismo entre espaços de transformações lineares.
Passo 2
Como
e
são isomorfismos, existem inversas lineares
Definimos então
para cada
. Note que
leva
em
,
leva
em
e
leva
em
, logo
.
Passo 3
Vamos ver que
é linear. Dados
e escalares
, temos
Passo 4
Mostramos que
é bijetora construindo sua inversa
Então para todo
e de modo análogo
. Logo
é bijetora.
Passo 5
Concluímos que
é uma aplicação linear bijetora entre
e
. Portanto esses espaços são isomorfos como espaços vetoriais.
Resposta
A bijeção linear
é o isomorfismo desejado entre
e
.