Mostre que se U e U^prime são isomorfos e que se V e V^prime são isomorfos, então L(U, V) é isomorfo a L(U^prime, V^prime).

Passo 1

O enunciado afirma que temos duas bijeções lineares (isomorfismos)
f:U to U' e g:Vto V'
e pede para mostrar que isso induz um isomorfismo
Phi:,L(U,V);longrightarrow;L(U',V'),
O conteúdo é o fato de que pré- e pós-composição por isomorfismos é um isomorfismo entre espaços de transformações lineares.

Passo 2

Como f e g são isomorfismos, existem inversas lineares
f^-1:U'to U e g^-1:V'to V
Definimos então
Phi(T);=;g;circ;T;circ;f^-1,
para cada Tin L(U,V). Note que f^-1 leva U' em U, T leva U em V e g leva V em V', logo Phi(T)in L(U',V').

Passo 3

Vamos ver que Phi é linear. Dados T1,T2in L(U,V) e escalares alpha,beta, temos
Phi(alpha T1 + beta T2) = gcirc(alpha T1 + beta T2)circ f^-1 = alpha,(gcirc T1circ f^-1) +beta,(gcirc T2circ f^-1) = alpha,Phi(T1)+beta,Phi(T2)

Passo 4

Mostramos que Phi é bijetora construindo sua inversa
Psi:;L(U',V');longrightarrow;L(U,V), Psi(S)=g^-1circ Scirc f
Então para todo Tin L(U,V)
Psil(Phi(T)r) = g^-1circl(gcirc Tcirc f^-1r)circ f = (g^-1circ g)circ Tcirc(f^-1circ f) = T,
e de modo análogo Phi(Psi(S))=S. Logo Phi é bijetora.

Passo 5

Concluímos que Phi é uma aplicação linear bijetora entre L(U,V) e L(U',V'). Portanto esses espaços são isomorfos como espaços vetoriais.

Resposta

A bijeção linear
Phi:L(U,V)to L(U',V'), Phi(T)=gcirc Tcirc f^-1
é o isomorfismo desejado entre L(U,V) e L(U',V').

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