Nos seguintes exercícios, encontre uma relação entre x e y e esboce o gráfico das curvas parametrizadas usando esta relação:
lx=cost 2 t y=sen 2 t, t in[-pi, pi]

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = cos(2t) y = sin(2t) , tin[-pi,pi]
Queremos encontrar uma relação entre x e y (eliminar o parâmetro) e esboçar o gráfico. O conteúdo aqui é curva paramétrica e uso da identidade trigonométrica cos^2theta+sin^2theta=1.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro t usando a identidade trigonométrica:
x = cos(2t)implies cos^2(2t)=x^2, y = sin(2t)implies sin^2(2t)=y^2
Somando as duas igualdades:
x^2 + y^2 = cos^2(2t) + sin^2(2t) = 1
Logo, a relação entre x e y é
x^2 + y^2 = 1

Passo 3

Agora vejamos quantas voltas o parâmetro dá no círculo. Como t varia em [-pi,pi], o ângulo
theta = 2t
varre o intervalo [ -2pi,;2pi ]. Isso corresponde a duas voltas completas no círculo de raio 1.

Passo 4

Para decidir o ponto inicial e a orientação, observe:
  • Em t=-pi, temos theta=2(-pi)=-2pi, ou seja (x,y)=(cos(-2pi),sin(-2pi))=(1,0).
  • À medida que t aumenta, theta também aumenta, então o movimento é no sentido anti-horário.
  • Quando t chega a pi, theta=2pi e retornamos a (1,0) após duas voltas.

Resposta

Relação entre x e y:
x^2 + y^2 = 1
Gráfico: círculo de raio 1 centrado na origem, percorrido duas vezes no sentido anti-horário, começando e terminando em (1,0).

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