Exibir uma base de .
Sejam um espaço vetorial sobre e . Mostre que se , então .
Seja e sejam e definidas por e .
(a) Mostre que é uma base de .
(b) Exiba uma base de da qual seja a base dual.
Passo 1
O exercício tem três partes principais:
Encontrar uma base de .
Provar que, num espaço vetorial sobre , se para todo então .
Para e as formas lineares
(a) mostrar que é base de ;
(b) exibir uma base de cuja base dual seja .
Passo 2
Uma isomorfia clássica é
cujo espaço tem dimensão . Tomamos como base os quatro endomorfismos
onde envia a base canônica em
Passo 3
Para provar que se f(v)=0 para todo fin V^* então v=0, procedemos por contradição. Suponha vneq 0. Estenda v a uma base v,v2,dots,vn de V. Defina fin V^* por
f(v)=1, f(v2)=cdots=f(vn)=0
Então f(v)=1neq0, contradição. Logo v não pode ser não nulo, ou seja, v=0.
Passo 4
O espaço
então avalie em e obtenha o sistema
Resolve-se e encontra-se , são também geradores.
Passo 5
Para encontrar a base dual p1,p2,p3subset V tal que
fi(pj)=de<aij,
escreva um polinômio genérico p(x)=ax^2+bx+c e imponha nos três sistemas lineares (um para cada j). Ao resolver obtém-se