Exibir uma base de L(C^2, C^2).
Sejam V um espaço vetorial sobre K e v in V. Mostre que se f(v)=0, forall f in V^*, então v=0.
Seja V=P2(R) e sejam f1, f2 e f3 in V^* definidas por
f1(p)=integral0^1 p(x) d x, f2(p)=integral0^2 p(x) d x e f3(p)=integral0^-1 p(x) d x.
(a) Mostre que f1, f2, f3 é uma base de V^*.
(b) Exiba uma base de V da qual f1, f2, f3 seja a base dual.

Passo 1

O exercício tem três partes principais:
  1. Encontrar uma base de L(C^2,C^2).
  2. Provar que, num espaço vetorial V sobre K, se f(v)=0 para todo fin V^* então v=0.
  3. Para V=P2(R) e as formas lineares
f1(p)=integral0^1p(x),dx, f2(p)=integral0^2p(x),dx, f3(p)=integral0^-1p(x),dx,
(a) mostrar que f1,f2,f3 é base de V^*;
(b) exibir uma base de V cuja base dual seja f1,f2,f3.

Passo 2

Uma isomorfia clássica é
L(C^2,C^2)cong M2(C),
cujo espaço tem dimensão 4. Tomamos como base os quatro endomorfismos
E11,,E12,,E21,,E22,
onde Eij envia a base canônica e1,e2 em
Eij(ek) = ei,&k=j, 0,&kneq j

Passo 3

Para provar que se f(v)=0 para todo fin V^* então v=0, procedemos por contradição. Suponha vneq 0. Estenda v a uma base v,v2,dots,vn de V. Defina fin V^* por
f(v)=1, f(v2)=cdots=f(vn)=0
Então f(v)=1neq0, contradição. Logo v não pode ser não nulo, ou seja, v=0.

Passo 4

O espaço
então avalie em e obtenha o sistema
Resolve-se e encontra-se , são também geradores.

Passo 5

Para encontrar a base dual p1,p2,p3subset V tal que
fi(pj)=de<aij,
escreva um polinômio genérico p(x)=ax^2+bx+c e imponha nos três sistemas lineares (um para cada j). Ao resolver obtém-se
p1(x)=-tfrac32x^2+x+1, p2(x)=tfrac12x^2-tfrac16, p3(x)=-tfrac12x^2+x-tfrac13

Resposta

Base de L(C^2,C^2):
E11,,E12,,E21,,E22
Se vin V satisfaz f(v)=0 para todo fin V^*, então v=0.
(a) f1,f2,f3 é base de V^*.
(b) Uma base de V=P2(R) cujo dual é f1,f2,f3 é
l -tfrac32x^2+x+1,; tfrac12x^2-tfrac16,; -tfrac12x^2+x-tfrac13 r

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