Represente graficamente os planos de equações:
3 y+2 z=9

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente em R^3 o plano dado pela equação
3y + 2z = 9
Aqui o conteúdo é Geometria Analítica de planos no espaço, e vamos usar o método dos interceptos e observar que a variável x não aparece, o que indica paralelismo com o eixo x.

Passo 2

Vamos encontrar os interceptos desse plano com os eixos coordenados.
  1. Intercepto em y: colocar z=0 e x livre. Da equação
3y + 2cdot 0 = 9
vem
y = 3
Logo, o ponto (0,3,0) pertence ao plano.
2. Intercepto em z: colocar y=0 e x livre. Da equação
3cdot 0 + 2z = 9
vem
z = 92
Logo, o ponto l(0,0,tfrac92r) pertence ao plano.
3. Intercepto em x: seria com y=0 e z=0, mas isso daria 0=9, impossível. Portanto não há interseção com o eixo x e o plano é paralelo a esse eixo.

Passo 3

Reescrevendo em forma de intercepto, isolamos y e z:
y = 3 - 23,z
ou ainda
y3 + ztfrac92 = 1
Isso confirma os interceptos l(0,3,0r) e l(0,0,tfrac92r) no plano yz.

Passo 4

Como x é livre, qualquer ponto do plano tem a forma paramétrica
(x,y,z) = (0,3,0) + s,(1,0,0) + t,(0,-3,tfrac92),
onde s,tinR. A direção (1,0,0) mostra o paralelismo com o eixo x, e o vetor l(0,-3,tfrac92r) liga os pontos de intercepto do plano no plano yz.

Passo 5

Para desenhar:
  1. Desenhe os três eixos x,y,z.
  2. Marque no plano yz os pontos A=(0,3,0) e B=l(0,0,tfrac92r) e trace a reta AB.
  3. A seguir, “puxe” essa reta paralelamente ao eixo x, formando um retângulo oblíquo cuja geratriz é paralela a x.

Resposta

O plano é a coleção de todas as retas paralelas ao eixo x que interceptam o plano yz na reta que passa por (0,3,0) e l(0,0,tfrac92r). Geometricamente, é esse retângulo oblíquo paralelo a x que satisfaz 3y+2z=9.

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