Qual a exigência deve ser satisfeita para se usar a aproximação pelo primeiro termo para determinar cilindro longo ou esfera nos quais há condução unidimensional devido a uma mudança na superfície?
Passo 1
Estamos tratando da solução em série para condução transiente unidimensional em cilindro longo ou esfera após mudança de condição de contorno na superfície (caso
). Queremos saber em que condição podemos manter apenas o primeiro termo dessa série, desprezando os demais.
Passo 2
A solução em série para a razão adimensional de temperaturas
tem a forma
onde
é o número de Fourier,
são os autovalores (raízes de Bessel para cilindro, de
para esfera) e
os coeficientes correspondentes.
Passo 3
Para manter só o primeiro termo, exigimos que o segundo termo seja muito menor que o primeiro, ou seja
Tomando uma tolerância de erro típica (por ex.
), chega-se numericamente a um limite mínimo de
.
Passo 4
Usando os valores
e
conhecidos, obtém-se como regra prática:
— Para cilindro longo:
— Para cilindro longo:
— Para esfera:
nesses patamares o segundo termo está abaixo de cerca de
do primeiro e a aproximação pelo primeiro termo é válida.
Resposta
A condição é que o número de Fourier seja suficientemente grande para que
o que em prática significa
para cilindro e
para esfera.