Qual a exigência deve ser satisfeita para se usar a aproximação pelo primeiro termo para determinar cilindro longo ou esfera nos quais há condução unidimensional devido a uma mudança na superfície?

Passo 1

Estamos tratando da solução em série para condução transiente unidimensional em cilindro longo ou esfera após mudança de condição de contorno na superfície (caso -1). Queremos saber em que condição podemos manter apenas o primeiro termo dessa série, desprezando os demais.

Passo 2

A solução em série para a razão adimensional de temperaturas
Theta(t)=T(t)-TinftyTi-Tinfty
tem a forma
Theta(t)=sumn=1^inftyAn expl(-lambdan^2,For)
onde Fo=alpha tL^2 é o número de Fourier, lambdan são os autovalores (raízes de Bessel para cilindro, de tanbeta=-beta para esfera) e An os coeficientes correspondentes.

Passo 3

Para manter só o primeiro termo, exigimos que o segundo termo seja muito menor que o primeiro, ou seja
A2 expl(-lambda2^2,For)A1 expl(-lambda1^2,For) ll 1 Longrightarrow exp!l[-(lambda2^2-lambda1^2),For]ll A1A2,
Tomando uma tolerância de erro típica (por ex. 5%), chega-se numericamente a um limite mínimo de Fo.

Passo 4

Usando os valores lambda1,lambda2 e A1,A2 conhecidos, obtém-se como regra prática:
— Para cilindro longo:
Fo>rsim0,25
— Para esfera:
Fo>rsim0,30
nesses patamares o segundo termo está abaixo de cerca de 5% do primeiro e a aproximação pelo primeiro termo é válida.

Resposta

A condição é que o número de Fourier seja suficientemente grande para que
expl[-(lambda2^2-lambda1^2),For]ll1,,
o que em prática significa
Fo>rsim0,25 para cilindro e
Fo>rsim0,30 para esfera.

Exercícios relacionados