Prove as fórmulas abaixo referentes a funções
e ao campo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para funções escalares
de classe
, vale a identidade
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: definição de divergência, gradiente e Laplaciano, e aplicação da regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Em coordenadas cartesianas, escrevemos
, logo as componentes de
são
Passo 3
Pela definição de divergência,
Aplicando a regra de Leibniz a cada termo:
Passo 4
Somando sobre
de
a
, obtemos
Mas
e
.