Prove as fórmulas abaixo referentes a funções u, v: R^d longrightarrow R e ao campo F: R^d longrightarrow R^d
div(u nabla v)=nabla u cdot nabla v+u De<a v.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para funções escalares u,v:R^dtoR de classe C^2, vale a identidade
divl(u,nabla vr) =nabla ucdotnabla v + u,De<a v
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: definição de divergência, gradiente e Laplaciano, e aplicação da regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F(x) = u(x),nabla v(x)
Em coordenadas cartesianas, escrevemos nabla v = l(partial1v,dots,partialdvr), logo as componentes de F são
Fi(x)=u(x),partiali v(x), i=1,dots,d

Passo 3

Pela definição de divergência,
divF =sumi=1^dpartiali Fi =sumi=1^dpartialil[u,partiali vr]
Aplicando a regra de Leibniz a cada termo:
partialil[u,partiali vr] =(partiali u),(partiali v)+u,(partiali^2 v)

Passo 4

Somando sobre i de 1 a d, obtemos
div(unabla v) =sumi=1^dl[(partiali u)(partiali v)+u,partiali^2 vr] =sumi=1^d(partiali u)(partiali v) +usumi=1^dpartiali^2 v
Mas sumi=1^d(partiali u)(partiali v)=nabla ucdotnabla v e sumi=1^dpartiali^2 v=De<a v.

Resposta

div(unabla v) =nabla ucdotnabla v + u,De<a v

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