Existe algum ponto onde a função
não é diferenciável?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em todos os pontos de . O conteúdo envolvido é o estudo de diferenciabilidade de funções definidas por partes, em particular o ponto em que o argumento do valor absoluto se anula.
é diferenciável em todos os pontos de
Passo 2
Identificamos que o único ponto em que
pode falhar em ser diferenciável é onde
, ou seja em
. Fora desse ponto,
é igual a uma expressão polinomial e, portanto, diferenciável.
Passo 3
Escrevemos
de forma piecewise:
Para , tem-se
e
,
logo
Para
logo
Para
, tem-se
e
,
logo
logo
Passo 4
Calculamos as derivadas em cada ramo:
Para :
Para
logo
Para :
Para
logo
Passo 5
Como as derivadas laterais em
são diferentes (
), não existe
. Em todos os outros pontos
é soma de polinômios e do valor absoluto fora do vértice, logo diferenciável.
Resposta
A única falha de diferenciabilidade ocorre em
.