Existe algum ponto onde a função f(x)=3 x-x^2+|2 x-4| não é diferenciável?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=3x - x^2 + lvert 2x - 4rvert
é diferenciável em todos os pontos de R. O conteúdo envolvido é o estudo de diferenciabilidade de funções definidas por partes, em particular o ponto em que o argumento do valor absoluto se anula.

Passo 2

Identificamos que o único ponto em que lvert 2x - 4rvert pode falhar em ser diferenciável é onde 2x-4=0, ou seja em x=2. Fora desse ponto, lvert 2x - 4rvert é igual a uma expressão polinomial e, portanto, diferenciável.

Passo 3

Escrevemos f de forma piecewise:
Para x<2, tem-se 2x-4<0 e
lvert 2x - 4rvert = 4 - 2x,
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f(x)=3x - x^2 + (4 - 2x)=x - x^2 + 4
Para x>2, tem-se 2x-4>0 e
lvert 2x - 4rvert = 2x - 4,
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f(x)=3x - x^2 + (2x - 4)=5x - x^2 - 4

Passo 4

Calculamos as derivadas em cada ramo:
Para x<2:
f'(x)=ddxl(x - x^2 + 4r)=1 - 2x,
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f'-(2)=1 - 2cdot 2=-3
Para x>2:
f'(x)=ddxl(5x - x^2 - 4r)=5 - 2x,
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f'+(2)=5 - 2cdot 2=1

Passo 5

Como as derivadas laterais em x=2 são diferentes ( -3neq1), não existe f'(2). Em todos os outros pontos f é soma de polinômios e do valor absoluto fora do vértice, logo diferenciável.

Resposta

A única falha de diferenciabilidade ocorre em x=2.

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