Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
e determinar se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo é topologia em
: vizinhanças, complemento aberto e pré-imagem de conjuntos fechados por função contínua.
Passo 2
Geometricamente,
é o “anel” (ou coroa) centrado na origem cuja parte interna é o círculo de raio
e a parte externa o círculo de raio
, incluindo ambas as circunferências:
Passo 3
Para ver que
não é aberto, basta notar que qualquer ponto na fronteira — isto é, com
ou com
— não admite bola aberta centrada nele inteiramente contida em
. Por exemplo, se
satisfaz
, então toda bola
contém pontos com
, logo fora de
. Portanto
não é aberto.
Passo 4
Para mostrar que
é fechado, note que seu complemento é
que é a união de dois discos abertos em
, logo um conjunto aberto. Como o complemento de
é aberto, concluímos que
é fechado.
Alternativamente, a função
Alternativamente, a função
é contínua e
pré-imagem de um intervalo fechado, o que também garante que
é fechado.