Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
1 <= x^2+y^2 <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 2
e determinar se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo é topologia em R^2: vizinhanças, complemento aberto e pré-imagem de conjuntos fechados por função contínua.

Passo 2

Geometricamente, S é o “anel” (ou coroa) centrado na origem cuja parte interna é o círculo de raio 1 e a parte externa o círculo de raio raiz2, incluindo ambas as circunferências:
(x,y)mid x^2+y^2=1 e (x,y)mid x^2+y^2=2

Passo 3

Para ver que S não é aberto, basta notar que qualquer ponto na fronteira — isto é, com x^2+y^2=1 ou com x^2+y^2=2 — não admite bola aberta centrada nele inteiramente contida em S. Por exemplo, se p satisfaz px^2+py^2=1, então toda bola B(p,varepsilon) contém pontos com x^2+y^2<1, logo fora de S. Portanto S não é aberto.

Passo 4

Para mostrar que S é fechado, note que seu complemento é
R^2setminus S = (x,y)mid x^2+y^2<1;cup;(x,y)mid x^2+y^2>2,
que é a união de dois discos abertos em R^2, logo um conjunto aberto. Como o complemento de S é aberto, concluímos que S é fechado.
Alternativamente, a função
fcolonR^2toR, f(x,y)=x^2+y^2
é contínua e
S=f^-1l([1,2]r),
pré-imagem de um intervalo fechado, o que também garante que S é fechado.

Resposta

S é fechado e não é aberto.

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