Existe algum valor para
, de modo que a função
tenha
como ponto de mínimo local ?
Passo 1
O enunciado pede um valor de
para que a função
tenha
como ponto de mínimo local. Isso envolve dois requisitos:
-
deve ser ponto crítico, ou seja, . - A segunda derivada em
deve ser positiva, , para garantir mínimo.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada de
. Usando derivada de
e de
, temos
Para
ser ponto crítico, impomos
Isso dá
Passo 3
Agora verificamos a segunda derivada
Calculando
logo
Em
fica
Como
para todo
, a condição de mínimo local exige apenas que escolhamos
entre os críticos.
Passo 4
Dos candidatos
e
, descartamos
porque aí
fica constante e não há mínimo estrito. Sobrou