Existe algum valor para m, de modo que a função f(x)=m x-m^2 ln (1+x^2) tenha x=2 como ponto de mínimo local ?

Passo 1

O enunciado pede um valor de m para que a função
f(x)=m,x - m^2lnl(1+x^2r)
tenha x=2 como ponto de mínimo local. Isso envolve dois requisitos:
  1. x=2 deve ser ponto crítico, ou seja, f'(2)=0.
  2. A segunda derivada em x=2 deve ser positiva, f''(2)>0, para garantir mínimo.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de f. Usando derivada de xmapsto m,x e de xmapsto m^2ln(1+x^2), temos
f'(x) = m - m^2,ddxl[ln(1+x^2)r] = m - m^2,2x1+x^2
Para x=2 ser ponto crítico, impomos
f'(2)=0 Longrightarrow m - m^2,2cdot 21+2^2=0 Longrightarrow m - m^2,45=0
Isso dá
ml(1 - 45mr)=0 ;Longrightarrow; m=0 ou m=54

Passo 3

Agora verificamos a segunda derivada
f''(x) = -m^2,ddxl(2x1+x^2r)
Calculando
ddxl(2x1+x^2r) =2(1+x^2) - 2xcdot 2x(1+x^2)^2 =2 - 2x^2(1+x^2)^2,
logo
f''(x) = -m^2,2 - 2x^2(1+x^2)^2 = -2,m^2,1 - x^2(1+x^2)^2
Em x=2 fica
f''(2) = -2,m^2,1 - 4(1+4)^2 = -2,m^2,-325 = 6,m^225
Como 6,m^225>0 para todo mneq 0, a condição de mínimo local exige apenas que escolhamos mneq 0 entre os críticos.

Passo 4

Dos candidatos m=0 e m=tfrac54, descartamos m=0 porque aí f fica constante e não há mínimo estrito. Sobrou
m = 54

Resposta

m = 54

Exercícios relacionados