Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial. Considere c1 e c2 constantes.
t^2 x^prime prime-t x^prime+2 x=0 ; x=t cos (ln t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
x(t)=tcosl(ln tr)
é solução da equação diferencial de Euler
t^2x''-t,x'+2x=0
Para isso vamos calcular x' e x'' usando regra do produto e cadeia, e depois substituir na equação.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada x'(t). Aplicando regra do produto e depois a regra da cadeia em cos(ln t), temos:
x'(t)=ddtl[tcos(ln t)r] =underbrace1(t)' cos(ln t) + tcdotl(-sin(ln t)r)cdotddt(ln t)
Como ddt(ln t)=tfrac1t, resulta
x'(t)=cos(ln t)-sin(ln t)

Passo 3

Agora a segunda derivada x''(t). Derivando termo a termo em x'(t)=cos(ln t)-sin(ln t):
ddtl[cos(ln t)r] =-sin(ln t)cdot1t, ddtl[-sin(ln t)r] =-cos(ln t)cdot1t
Somando,
x''(t) =-1tsin(ln t) -1tcos(ln t) =-sin(ln t)+cos(ln t)t

Passo 4

Substituímos em
t^2x''-t,x'+2x:
t^2!(-sin(ln t)+cos(ln t)t) - tl[cos(ln t)-sin(ln t)r] +2,tcos(ln t)
Simplificando termo a termo:
-,tl[sin(ln t)+cos(ln t)r] -,tcos(ln t) +,tsin(ln t) +2,tcos(ln t)
Agrupando:
(-tsin+;tsin)=0, (-tcos -tcos+2tcos)=0
Logo a soma é zero, ou seja a equação é satisfeita.

Resposta

A função x(t)=tcos(ln t) é solução da equação diferencial dada.

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