Q. 2(2,0). Verificando se há alguma indeterminação, determine os limites abaixo:
lim x -1 raiz[3]x+1raiz[5]x+1;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -1raiz[3]x+1raiz[5]x+1,
que é uma indeterminação do tipo 0/0. O conteúdo aqui é limite de função com raízes de índices ímpares e usaremos a fatoração de soma de potências para remover a indeterminação.

Passo 2

Verificamos o comportamento das partes ao aproximar x de -1:
raiz[3]-1+1=-1+1=0 e raiz[5]-1+1=-1+1=0.
Logo, temos 0/0 e podemos usar a fatoração
a^n + b^n = (a + b)l(a^n-1 - a^n-2b + cdots + b^n-1r)
para n=3 e n=5.

Passo 3

Aplicando a fatoração em cada raiz:
raiz[3]x+1 =l(raiz[3]xr)^3 - (-1)^3raiz[3]x^2-raiz[3]xcdot(-1)+(-1)^2 =x+1raiz[3]x^2-raiz[3]x+1,
raiz[5]x+1 =l(raiz[5]xr)^5 - (-1)^5 raiz[5]x^4-raiz[5]x^3,(-1)+raiz[5]x^2,(-1)^2-raiz[5]x,(-1)^3+(-1)^4 =x+1raiz[5]x^4-raiz[5]x^3+raiz[5]x^2-raiz[5]x+1
Substituindo no quociente:
raiz[3]x+1raiz[5]x+1 =dfracx+1raiz[3]x^2-raiz[3]x+1 dfracx+1raiz[5]x^4-raiz[5]x^3+raiz[5]x^2-raiz[5]x+1 =raiz[5]x^4-raiz[5]x^3+raiz[5]x^2-raiz[5]x+1 raiz[3]x^2-raiz[3]x+1

Passo 4

Agora basta avaliar em x=-1:
raiz[5](-1)^4=1, raiz[5](-1)^3=-1, raiz[5](-1)^2=1, raiz[5]-1=-1.
Logo o numerador vira
1 - (-1) + 1 - (-1) + 1 = 1+1+1+1+1 = 5,
e o denominador, com raiz[3](-1)^2=1 e raiz[3]-1=-1, fica
1 - (-1) + 1 = 1+1+1 = 3

Resposta

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