Existe alguma relação entre \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}\left(A^{*}\right). Qual?

Passo 1

O enunciado pede a relação entre \det(A) e \det\bigl(A^*\bigr), onde A^* é a matriz conjugada-transposta de A. Para resolver, vamos usar duas propriedades fundamentais de determinantes: a invariância pela transposição e o efeito da conjugação sobre o determinante.

Passo 2

Lembrando a definição de adjunta (conjugada-transposta), temos
A^* = \overline{A}^{T}
e, por consequência,
\det\bigl(A^*\bigr)=\det\bigl(\overline{A}^{T}\bigr).

Passo 3

Pelo fato de o determinante ser invariante sob transposição, vale
\det\bigl(\overline{A}^{T}\bigr)=\det\bigl(\overline{A}\bigr).

Passo 4

E como a operação de conjugação entra dentro do determinante como conjugado do escalar resultante, obtemos
\det\bigl(\overline{A}\bigr)=\overline{\det(A)}.

Resposta

\boxed{\det\bigl(A^*\bigr)=\overline{\det(A)}.}

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