Para que valores de \theta a matriz de rotação \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right) possui autovalores reais? Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de \theta a matriz de rotação
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
tem autovalores reais. O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico e análise do discriminante para saber quando as raízes são reais.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico de R(\theta). Como \operatorname{tr}R(\theta)=2\cos\theta e \det R(\theta)=1, temos
\chi(\lambda)=\det\bigl(R(\theta)-\lambda I\bigr) =\lambda^2 - (\operatorname{tr}R(\theta))\,\lambda + \det R(\theta) =\lambda^2 - 2\cos\theta\,\lambda + 1.

Passo 3

O discriminante desse polinômio é
\Delta = (2\cos\theta)^2 - 4\cdot1\cdot1 =4\cos^2\theta -4 =4\bigl(\cos^2\theta -1\bigr) =-4\sin^2\theta.
Para que as raízes sejam reais, precisamos de \Delta\ge0, isto é,
-4\sin^2\theta \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = 0.

Passo 4

A condição \sin\theta=0 implica
\theta = k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.
Nesses casos, as raízes do polinômio são reais e iguais a
\lambda = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta -1} =\cos\theta \pm 0 =\cos(k\pi) = (-1)^k.
Para k par ( \theta=2m\pi), temos \lambda=1 (identidade).
Para k ímpar ( \theta=(2m+1)\pi), temos \lambda=-1 (metade de volta).

Passo 5

Geometricamente, somente a rotação nula ( \theta=0 módulo 2\pi) e a rotação de 180^\circ ( \theta=\pi módulo 2\pi) admitem direções reais invariantes:
  • Se \theta=0, todo vetor é fixo ( \lambda=1).
  • Se \theta=\pi, todo vetor é invertido ( \lambda=-1).
    Em qualquer outra rotação não há vetores próprios reais, pois a rotação em geral “mexe” todas as direções sem deixá-las colineares.

Resposta

\theta = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

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