Para que valores de
a matriz de rotação
possui autovalores reais? Interprete geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a matriz de rotação
tem autovalores reais. O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico e análise do discriminante para saber quando as raízes são reais.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico de
. Como
e
, temos
Passo 3
O discriminante desse polinômio é
Para que as raízes sejam reais, precisamos de
, isto é,
Passo 4
A condição
implica
Nesses casos, as raízes do polinômio são reais e iguais a
Para
par (
), temos
(identidade).
Para ímpar (
), temos
(metade de volta).
Para
Passo 5
Geometricamente, somente a rotação nula (
módulo
) e a rotação de
(
módulo
) admitem direções reais invariantes:
- Se
, todo vetor é fixo ( ). - Se
, todo vetor é invertido ( ).
Em qualquer outra rotação não há vetores próprios reais, pois a rotação em geral “mexe” todas as direções sem deixá-las colineares.