Encontre os possíveis valores para os autovalores de uma matriz P tal que P^{2}=P.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada P satisfazendo a relação de idempotência P^2 = P. Pede-se encontrar os possíveis valores de seus autovalores. O conteúdo envolve autovalores de matrizes idempotentes.

Passo 2

Suponha que exista um autovetor v \neq 0 de P associado a um autovalor \lambda. Então
P v = \lambda v.
Aplicando P^2 = P em v, obtemos
P^2 v = P v.
Por um lado,
P^2 v = P(P v) = P(\lambda v) = \lambda\,P v = \lambda(\lambda v) = \lambda^2 v.
Por outro,
P v = \lambda v.
Logo,
\lambda^2 v = \lambda v.

Passo 3

Da igualdade \lambda^2 v = \lambda v segue
(\lambda^2 - \lambda)\,v = 0.
Como v\neq 0, devemos ter
\lambda^2 - \lambda = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda - 1) = 0,
ou seja, \lambda = 0 ou \lambda = 1.

Resposta

Os possíveis valores dos autovalores de P são 0 e 1.

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