Encontre os possíveis valores para os autovalores de uma matriz
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
satisfazendo a relação de idempotência
. Pede-se encontrar os possíveis valores de seus autovalores. O conteúdo envolve autovalores de matrizes idempotentes.
Passo 2
Suponha que exista um autovetor
de
associado a um autovalor
. Então
Aplicando
em
, obtemos
Por um lado,
Por outro,
Logo,
Passo 3
Da igualdade
segue
Como
, devemos ter
ou seja,
ou
.
Resposta
Os possíveis valores dos autovalores de
são
e
.