Três cilindros plásticos sólidos idênticos têm raio de 2,50 \mathrm{~cm} e comprimento de 6,00 \mathrm{~cm}. Um tem carga por unidade de área de 15,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} espalhada uniformemente sobre sua superfície. Encontre a carga de cada cilindro. Resposta: (a) 0,20 \mathrm{nC}

Passo 1

O enunciado pede a carga total em cada cilindro, sabendo que a carga está espalhada uniformemente sobre a superfície de cada um. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • raio: \;r=2{,}50\\ \text{cm}.
  • comprimento (altura do cilindro): \;L=6{,}00\\ \text{cm}.
  • densidade de carga superficial: \;\sigma=15{,}0\\ \text{nC}/\text{m}^{2}.
A tarefa é usar esses dados para encontrar a carga Q de um cilindro.

Passo 2

Conceito fundamental: densidade de carga superficial \sigma é definida como a carga por unidade de área. A relação é
\sigma=\frac{Q}{A},
onde
  • \sigma é a densidade de carga superficial (em \text{C}/\text{m}^2),
  • Q é a carga total sobre a superfície (em \text{C}),
  • A é a área da superfície coberta pela carga (em \text{m}^2).
Da equação acima isolamos Q:
Q=\sigma A.
Logo, para achar Q precisamos calcular a área total A da superfície do cilindro.

Passo 3

Área total de um cilindro fechado = área lateral + área das duas bases. As fórmulas são:
  • área lateral: \;A_{\text{lat}}=2\pi r L (circunferência \times altura),
  • área das duas bases: \;A_{\text{bases}}=2\pi r^{2} (duas vezes a área de um círculo).
Portanto a área total é
A=A_{\text{lat}}+A_{\text{bases}}=2\pi r L + 2\pi r^{2}=2\pi r\,(L+r).

Passo 4

Converter unidades para o SI (metros), porque \sigma está em \text{nC}/\text{m}^2:
r=2{,}50\\ \text{cm}=0{,}0250\\ \text{m}, \qquad L=6{,}00\\ \text{cm}=0{,}0600\\ \text{m}.
Converter também \sigma para coulombs por metro quadrado:
\sigma=15{,}0\\ \text{nC}/\text{m}^{2}=15{,}0\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^{2}.

Passo 5

Calcular separadamente área lateral e áreas das bases com os valores em metros.
Área lateral:
A_{\text{lat}}=2\pi r L=2\pi(0{,}0250)(0{,}0600).
Fazendo a conta:
2\pi(0{,}0250)(0{,}0600)=2\pi(0{,}00150)=0{,}00942478\\ \text{m}^{2}\\ (\text{aprox.}).
Área das duas bases:
A_{\text{bases}}=2\pi r^{2}=2\pi(0{,}0250)^{2}=2\pi(0{,}000625)=0{,}00392699\\ \text{m}^{2}\\ (\text{aprox.}).
Somando:
A=A_{\text{lat}}+A_{\text{bases}}=0{,}00942478+0{,}00392699=0{,}01335177\\ \text{m}^{2}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Calcular a carga Q usando Q=\sigma A:
Q=(15{,}0\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^{2})(0{,}01335177\\ \text{m}^{2}).
Fazendo a multiplicação:
Q=2{,}0028\times10^{-10}\\ \text{C}\\ (\text{aprox.}).
Converter para nanoCoulombs ( 1\\ \text{nC}=10^{-9}\\ \text{C}):
Q=0{,}20028\\ \text{nC}\approx0{,}20\\ \text{nC}.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento: cada cilindro, com a densidade superficial dada, possui carga total aproximadamente \;0{,}20\\ \text{nC}. Racional: todos os três cilindros são idênticos, então cada um tem a mesma área e, com a mesma \sigma, a mesma carga.

Resposta

0{,}20\\ \text{nC}

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