Existe uma carga distribuída com densidade superficial de carga sigma constante, sobre um círculo de raio a. O círculo está sobre o plano x y com seu centro na origem. Determinar o campo elétrico em um ponto sobre o eixo z>0. Estude o caso em que a infty.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos: um disco de raio a no plano xy, centro na origem, com densidade de carga superficial constante sigma. Queremos achar o campo elétrico num ponto do eixo z (com z>0). Isso é eletrostática pura: conteúdo de “campo elétrico gerado por distribuição de carga”, usando a Lei de Coulomb e superposição, e fazendo uma integral em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro passo da resolução: a gente quebra o disco em anéis concêntricos. Cada anel tem raio rho e “espessura” drho. A área desse anel vale
dA = 2pi,rho,drho
e, como a densidade de carga é sigma, a carga do anel é
dq = sigma,dA = sigma,(2pi,rho,drho),

Passo 3

Agora vamos ver qual é o campo gerado por esse anel no ponto do eixo z. Pela Lei de Coulomb, um pedacinho de carga dq a uma distância
r = raizrho^2 + z^2
produz um vetor
dE = 14pivarepsilon0,dqr^2,r,
Por simetria, todas as componentes transversais se cancelam, sobrando só a componente ao longo de z. Essa componente é
dEz = dEcostheta
onde costheta = z/r. Substituindo, fica
dEz = 14pivarepsilon0,dqr^2,zr = 14pivarepsilon0,dq,z(rho^2+z^2)^3/2,

Passo 4

Agora juntamos tudo e integramos rho de 0 até a:
Ez ;=;integral dEz =integral0^a14pivarepsilon0,sigma,(2pi,rho,drho),z(rho^2+z^2)^3/2
Tirando constantes pra fora:
Ez = sigma,2pi,z4pivarepsilon0, integral0^arho,drho(rho^2+z^2)^3/2 = sigma,z2varepsilon0, integral0^arho,drho(rho^2+z^2)^3/2

Passo 5

Bora resolver a integral
I=integral0^arho,drho(rho^2+z^2)^3/2,
Fazendo u=rho^2+z^2implies du=2rho,drho, vem
I = integralu=z^2^u=a^2+z^2du2,u^3/2 = 12l[-2u^-1/2r]z^2^a^2+z^2 = l[-1raizur]z^2^a^2+z^2 = 1z - 1raiza^2+z^2

Passo 6

Substituindo I em Ez:
Ez = sigma,z2varepsilon0l(1z - 1raiza^2+z^2r) = sigma2varepsilon0l(1 - zraiza^2+z^2r)
Esse é o campo no eixo z acima do disco.

Passo 7

Pra estudar atoinfty, note que
zraiza^2+z^2;xrightarrow[atoinfty];0
Logo, no limite do disco infinito,
Ez = sigma2varepsilon0,
ou seja, campo uniforme de um plano infinito.

Resposta

Campo no eixo de um disco de raio a:
Ez=sigma2varepsilon0l(1-zraiza^2+z^2r), z
No caso atoinfty:
Ez=sigma2varepsilon0, z,

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