(a) Explique qual a função do capacitor. (b) Mostre que a capacitância de um capacitor cilíndrico pode ser dada por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela tem duas partes:
a) Explicar qual é a função de um capacitor.
b) Mostrar que a capacitância de um capacitor cilíndrico pode ser dada pela fórmula:
b) Mostrar que a capacitância de um capacitor cilíndrico pode ser dada pela fórmula:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de eletricidade e eletromagnetismo, especificamente sobre capacitores. Para resolver, vamos precisar entender o que é um capacitor, como ele funciona e como calcular sua capacitância, especialmente no caso de um capacitor com formato cilíndrico.
Passo 2
Vamos começar pela parte a). Um capacitor é um componente eletrônico que armazena energia na forma de campo elétrico. Basicamente, ele consiste em duas placas condutoras separadas por um material isolante chamado dielétrico. Quando conectamos o capacitor a uma fonte de tensão, cargas iguais e opostas se acumulam nas placas, criando um campo elétrico entre elas.
Passo 3
A função principal do capacitor é armazenar e liberar energia elétrica quando necessário. Ele é usado em diversos circuitos para suavizar flutuações de tensão, filtrar sinais, armazenar energia temporariamente e em aplicações de temporização, entre outros usos.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que a capacitância de um capacitor cilíndrico é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a capacitância, -
é a permissividade do vácuo, -
é o comprimento do capacitor, -
e são os raios dos cilindros interno e externo, respectivamente.
Passo 5
Para derivar essa fórmula, vamos considerar um capacitor cilíndrico com dois cilindros concêntricos: um interno com raio
e outro externo com raio
, separados por um comprimento
.
Passo 6
Primeiro, calculamos o campo elétrico entre os cilindros. Usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico devido a uma distribuição de carga simétrica. Para um cilindro, aplicamos a Lei de Gauss a uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
(onde
) e comprimento
.
Passo 7
A Lei de Gauss é dada por:
Onde
é a carga dentro da superfície gaussiana. Como a distribuição é simétrica, o campo elétrico
é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.
Passo 8
A área da superfície gaussiana é:
Então, a integral da Lei de Gauss fica:
Daqui, encontramos o campo elétrico:
Passo 9
Agora, para encontrar a capacitância, usamos a relação entre carga, potencial e capacitância:
Onde
é a diferença de potencial entre os cilindros.
Passo 10
Para encontrar
, integramos o campo elétrico ao longo da distância entre os cilindros:
Passo 11
Substituindo
na fórmula da capacitância:
Resposta
A capacitância de um capacitor cilíndrico é dada por: