(2,5) (a) Explique qual a função do capacitor. (b) Mostre que a capacitância de um capacitor cilíndrico pode ser dada por
C=2 pi varepsilon0 Lln (ba)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela tem duas partes:
a) Explicar qual é a função de um capacitor.
b) Mostrar que a capacitância de um capacitor cilíndrico pode ser dada pela fórmula:
C = 2 pi varepsilon0 Lln (ba)
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de eletricidade e eletromagnetismo, especificamente sobre capacitores. Para resolver, vamos precisar entender o que é um capacitor, como ele funciona e como calcular sua capacitância, especialmente no caso de um capacitor com formato cilíndrico.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Um capacitor é um componente eletrônico que armazena energia na forma de campo elétrico. Basicamente, ele consiste em duas placas condutoras separadas por um material isolante chamado dielétrico. Quando conectamos o capacitor a uma fonte de tensão, cargas iguais e opostas se acumulam nas placas, criando um campo elétrico entre elas.

Passo 3

A função principal do capacitor é armazenar e liberar energia elétrica quando necessário. Ele é usado em diversos circuitos para suavizar flutuações de tensão, filtrar sinais, armazenar energia temporariamente e em aplicações de temporização, entre outros usos.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que a capacitância de um capacitor cilíndrico é dada pela fórmula:
C = 2 pi varepsilon0 Lln (ba)
Onde:
  • C é a capacitância,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • L é o comprimento do capacitor,
  • a e b são os raios dos cilindros interno e externo, respectivamente.

Passo 5

Para derivar essa fórmula, vamos considerar um capacitor cilíndrico com dois cilindros concêntricos: um interno com raio a e outro externo com raio b , separados por um comprimento L .

Passo 6

Primeiro, calculamos o campo elétrico entre os cilindros. Usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico devido a uma distribuição de carga simétrica. Para um cilindro, aplicamos a Lei de Gauss a uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r (onde a < r < b ) e comprimento L .

Passo 7

A Lei de Gauss é dada por:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde Qinterno é a carga dentro da superfície gaussiana. Como a distribuição é simétrica, o campo elétrico E é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.

Passo 8

A área da superfície gaussiana é:
A = 2 pi r L
Então, a integral da Lei de Gauss fica:
E cdot 2 pi r L = Qvarepsilon0
Daqui, encontramos o campo elétrico:
E = Q2 pi varepsilon0 r L

Passo 9

Agora, para encontrar a capacitância, usamos a relação entre carga, potencial e capacitância:
C = QV
Onde V é a diferença de potencial entre os cilindros.

Passo 10

Para encontrar V , integramos o campo elétrico ao longo da distância entre os cilindros:
V = integrala^b E , dr = integrala^b Q2 pi varepsilon0 r L , dr = Q2 pi varepsilon0 L ln(ba)

Passo 11

Substituindo V na fórmula da capacitância:
C = QQ2 pi varepsilon0 L ln(ba) = 2 pi varepsilon0 Lln(ba)

Resposta

A capacitância de um capacitor cilíndrico é dada por:
C = 2 pi varepsilon0 Lln (ba)

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