Existe uma conjectura de que todo inteiro par pode ser escrito, de inifinitas formas, como uma diferença de dois primos consecutivos. Por exemplo,
6=29-23=137-131=599-593=1019-1013=\ldots
Expresse os inteiros 2 e 10 como a diferença de dois primos consecutivos de 11 formas distintas.

Passo 1

O enunciado pede para escrever os inteiros pares 2 e 10, cada um em 11 formas distintas, como diferença de dois primos consecutivos. Vamos usar o conceito de “primos consecutivos” (isto é, dois primos p e q tais que não há nenhum primo entre eles) e listar pares (q,p) com q-p igual a 2 ou a 10.

Passo 2

Para \,2, estamos procurando “primos gêmeos”, isto é, primos p e q consecutivos tais que
q - p = 2.
Os primeiros 11 pares de primos gêmeos são:
(3,5),\,(5,7),\,(11,13),\,(17,19),\,(29,31),\,(41,43),\,(59,61),\,(71,73),\,(101,103),\,(107,109),\,(137,139).

Passo 3

Para \,10, buscamos pares de primos consecutivos p e q tais que
q - p = 10,
e não haja nenhum outro primo entre p e q. Os primeiros 11 pares assim são:
(139,149),\,(181,191),\,(241,251),\,(283,293),\,(337,347),\,(409,419),\,(421,431),\,(547,557),\,(577,587),\,(631,641),\,(691,701).

Resposta

Para 2:
2 = 5 - 3 = 7 - 5 = 13 - 11 = 19 - 17 = 31 - 29 = 43 - 41 = 61 - 59 = 73 - 71 = 103 - 101 = 109 - 107 = 139 - 137.
Para 10:
10 = 149 - 139 = 191 - 181 = 251 - 241 = 293 - 283 = 347 - 337 = 419 - 409 = 431 - 421 = 557 - 547 = 587 - 577 = 641 - 631 = 701 - 691.

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