Prove que qualquer inteiro n pode ser expressado na forma n=2^{k} m, onde k \geq 0 e m é um inteiro ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo inteiro n pode ser escrito na forma
n = 2^{k}\,m
onde k\ge0 e m é ímpar.
O conteúdo usado será a ideia de “fatorar” todas as potências de 2 que dividem n, repetindo divisões sucessivas por 2 até obter um quociente ímpar.

Passo 2

Primeiro, se n já for ímpar, então basta tomar
k=0 \quad\text{e}\quad m=n,
pois \,n=2^{0}\,n e m=n é ímpar por hipótese.

Passo 3

Se n for par, então podemos escrevê-lo como
n=2\,n_{1}.
Se n_{1} for ímpar, escolhemos k=1 e m=n_{1}, e terminamos. Caso contrário, n_{1} continua par, então
n_{1}=2\,n_{2},
e assim sucessivamente obtemos uma sequência de divisões
n=2\,n_{1},\; n_{1}=2\,n_{2},\; n_{2}=2\,n_{3},\;\dots
Até encontrarmos o primeiro quociente n_{r} que seja ímpar. Nesse ponto
n = 2^{r}\,n_{r},
e então basta definir k=r e m=n_{r}.

Passo 4

Por que esse processo termina em número finito de etapas? Cada divisão por 2 diminui \lvert n_{i}\rvert pelo menos à metade, e não é possível ficar dividindo infinitamente um inteiro não-zero sem ultrapassar o valor absoluto 1. Logo em no máximo \lfloor\log_{2}\lvert n\rvert\rfloor divisões chegamos a um quociente ímpar.

Resposta

Todo inteiro n pode ser escrito como
n = 2^{k}\,m,
com k\ge0 e m ímpar.

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