Prove que qualquer inteiro
pode ser expressado na forma
, onde
e
é um inteiro ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo inteiro
pode ser escrito na forma
onde
e
é ímpar.
O conteúdo usado será a ideia de “fatorar” todas as potências de 2 que dividem , repetindo divisões sucessivas por 2 até obter um quociente ímpar.
O conteúdo usado será a ideia de “fatorar” todas as potências de 2 que dividem
Passo 2
Primeiro, se
já for ímpar, então basta tomar
pois
e
é ímpar por hipótese.
Passo 3
Se
for par, então podemos escrevê-lo como
Se
for ímpar, escolhemos
e
, e terminamos. Caso contrário,
continua par, então
e assim sucessivamente obtemos uma sequência de divisões
Até encontrarmos o primeiro quociente
que seja ímpar. Nesse ponto
e então basta definir
e
.
Passo 4
Por que esse processo termina em número finito de etapas? Cada divisão por 2 diminui
pelo menos à metade, e não é possível ficar dividindo infinitamente um inteiro não-zero sem ultrapassar o valor absoluto 1. Logo em no máximo
divisões chegamos a um quociente ímpar.
Resposta
Todo inteiro
pode ser escrito como
com
e
ímpar.