Prove que qualquer inteiro
pode ser expressado na forma
, onde
e
é um inteiro ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo inteiro
pode ser escrito na forma
onde
é um inteiro e
é um inteiro ímpar.
O conteúdo aqui é a ideia de “fatorar” todas as potências de 2 de um inteiro até sobrar uma parte ímpar. Vamos provar existência e unicidade dessa decomposição usando indução forte no valor absoluto de (e, em seguida, tratar o sinal se
for negativo).
O conteúdo aqui é a ideia de “fatorar” todas as potências de 2 de um inteiro até sobrar uma parte ímpar. Vamos provar existência e unicidade dessa decomposição usando indução forte no valor absoluto de
Passo 2
Base da indução: considere
. Então
é ímpar, pois não é divisível por 2. Basta escolher
Nesse caso
e
é ímpar. A decomposição existe.
Passo 3
Passo indutivo (existência): suponha que todo inteiro
com
admita uma escrita
com
e
ímpar.
Se for ímpar, repita o mesmo argumento da base: tome
e
.
Se for par, então
e podemos escrever
Se
Se
com
. Pelo passo indutivo existe
e
ímpar tais que
Logo
Definindo
, obtemos a forma desejada com
ímpar.
Passo 4
Tratamento do sinal: se
, aplicamos o mesmo raciocínio a
, obtendo
com
ímpar; então
e
continua ímpar. Assim, para todo
já provemos a existência de
e
ímpar com
.
Passo 5
Unicidade da decomposição: suponha que
com
e
ímpares. Sem perda de generalidade, assuma
. Então
Como
é ímpar,
só é ímpar se
. Logo
. Daí
. Isso prova que
e
são únicos.
Resposta
Concluímos que todo inteiro
(e, por extensão trivial do sinal, todo inteiro
) admite uma e só uma escrita
com
inteiro e
inteiro ímpar.