Prove que qualquer inteiro n pode ser expressado na forma n=2^{k} m, onde k \geq 0 e m é um inteiro ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo inteiro n pode ser escrito na forma
n = 2^{k}m,
onde k\ge0 é um inteiro e m é um inteiro ímpar.
O conteúdo aqui é a ideia de “fatorar” todas as potências de 2 de um inteiro até sobrar uma parte ímpar. Vamos provar existência e unicidade dessa decomposição usando indução forte no valor absoluto de n (e, em seguida, tratar o sinal se n for negativo).

Passo 2

Base da indução: considere |n|=1. Então n=\pm1 é ímpar, pois não é divisível por 2. Basta escolher
k=0,\quad m=n.
Nesse caso n=2^0\cdot n e m=n é ímpar. A decomposição existe.

Passo 3

Passo indutivo (existência): suponha que todo inteiro n' com 0<|n'|<|n| admita uma escrita n'=2^{k'}m' com k'\ge0 e m' ímpar.
Se n for ímpar, repita o mesmo argumento da base: tome k=0 e m=n.
Se n for par, então 2\mid n e podemos escrever
n = 2n_1
com 0<|n_1|<|n|. Pelo passo indutivo existe k_1\ge0 e m ímpar tais que
n_1 = 2^{k_1}m.
Logo
n = 2\,n_1 = 2\cdot 2^{k_1}m = 2^{k_1+1}m.
Definindo k=k_1+1, obtemos a forma desejada com m ímpar.

Passo 4

Tratamento do sinal: se n<0, aplicamos o mesmo raciocínio a -n>0, obtendo -n=2^k m com m ímpar; então
n = -\,2^k m = 2^k(-m),
e -m continua ímpar. Assim, para todo n\neq0 já provemos a existência de k\ge0 e m ímpar com n=2^k m.

Passo 5

Unicidade da decomposição: suponha que
n = 2^{k}m = 2^{k'}m'
com k,k'\ge0 e m,m' ímpares. Sem perda de generalidade, assuma k\le k'. Então
2^k\,m = 2^{k'}\,m' \;\Longrightarrow\; m = 2^{\,k'-k}m'.
Como m' é ímpar, 2^{\,k'-k}m' só é ímpar se k'-k=0. Logo k'=k. Daí m=m'. Isso prova que k e m são únicos.

Resposta

Concluímos que todo inteiro n\neq0 (e, por extensão trivial do sinal, todo inteiro n) admite uma e só uma escrita
\boxed{n = 2^{k}m,}
com k\ge0 inteiro e m inteiro ímpar.

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