1. Existe exatamente uma pessoa que venceu todos os campeonatos de xadrez.

Passo 1

O enunciado é a sentença em linguagem natural: “Existe exatamente uma pessoa que venceu todos os campeonatos de xadrez.”\n
Pergunta implícita: traduzir essa afirmação para lógica de predicados (formalizar) e entender como provar/nega-la.\n
Informações dadas explicitamente: só a frase acima — não há lista dos campeonatos nem nomes de pessoas.

Passo 2

Vamos escolher um domínio e predicados para formalizar de modo claro e simples.\n
  • Domínio (universo): o conjunto de todas as pessoas; escrevemos isso só para contexto, não precisa quantificar no símbolo final.\n
  • Seja C o conjunto (ou domínio) de todos os campeonatos de xadrez (todos os torneios aos quais nos referimos).\n
  • Definimos o predicado V(x,c) como: "a pessoa x venceu o campeonato c".\n
    Com isso, a expressão “a pessoa x venceu todos os campeonatos de xadrez” fica escrita como a fórmula
\forall c\in C\; V(x,c).
Para simplificar a escrita, defino também o predicado composto
P(x) \equiv \forall c\in C\; V(x,c),
ou seja, P(x) significa " x venceu todos os campeonatos de C".

Passo 3

Agora explico o significado de “existe exatamente uma pessoa” em lógica.\n
Uma forma curta usa o quantificador de unicidade \exists!: a sentença que queremos é
\exists! x\; P(x).
Isso se lê: "existe exatamente um x tal que P(x)".

Passo 4

Mas em lógica de predicados tradicional muitas vezes preferimos eliminar o símbolo \exists! e escrever só com \exists, \forall e =.\n
A equivalência padrão para \exists! x\; P(x) é:
\exists x\big(P(x)\land \forall y\,(P(y)\rightarrow y=x)\big).
Vou explicar cada parte dessa fórmula:\n
  • \exists x\, P(x) (implícita na conjunção) garante que existe pelo menos uma pessoa que venceu todos os campeonatos;\n
  • \forall y\,(P(y)\rightarrow y=x) garante que qualquer pessoa y que também venceu todos os campeonatos deve ser igual a x; assim não há duas pessoas distintas com a propriedade — ou seja, a pessoa é única.\n
    Portanto estamos escrevendo "existe uma pessoa x com P(x) e qualquer outra y com P(y) é a mesma pessoa x".

Passo 5

Substituindo P(\cdot) pela sua definição em termos de V(\cdot,\cdot) (ou seja, expandindo totalmente), obtemos a formulação final completamente explícita:
\exists x\Big(\forall c\in C\; V(x,c)\\ \land\\ \forall y\big(\forall c\in C\; V(y,c)\rightarrow y=x\big)\Big).
Leitura: "existe uma pessoa x tal que (1) para todo campeonato c em C, x o venceu; e (2) qualquer pessoa y que venceu todo campeonato de C é igual a x".

Passo 6

Como provar uma afirmação desse tipo numa demonstração (passo a passo útil para prova em prova):\n
  • Provar existência: encontre um candidato concreto a (ou mostre construtivamente) e prove \forall c\in C\; V(a,c).\n
  • Provar unicidade: pegue duas pessoas quaisquer a e b tais que \forall c\in C\; V(a,c) e \forall c\in C\; V(b,c). A partir disso demonstre a=b. Normalmente mostra-se que da hipótese “a e b venceram todos os campeonatos” segue-se que a e b não podem ser distintos (algumas vezes usa-se uma propriedade adicional do contexto para concluir igualdade, ou mostra-se que assumir a\neq b leva a contradição).\n
    Estratégia padrão: dividir a demonstração em duas partes — (i) mostrar um exemplo que satisfaz a propriedade; (ii) assumir que existe outro que também satisfaz e derivar que é igual ao primeiro.

Passo 7

Exemplo curto e didático (controle de entendimento): suponha que C=\{T_1,T_2,T_3\} e que sabemos que a pessoa A venceu T_1,T_2,T_3. Então \forall c\in C\; V(A,c) é verdadeira. Para unicidade, assumimos que existe B tal que \forall c\in C\; V(B,c) e então comparamos dados concretos; se, por hipótese do problema, sabemos que não existe ninguém além de A com essas vitórias (ou podemos derivar que B=A por identidade de resultados), concluímos unicidade.\n
Esse exemplo mostra o formato da prova: primeiro construir o x que satisfaz, depois mostrar que qualquer y com a propriedade coincide com x.

Passo 8

Negação útil (muito pedida em exercícios): a negação de "existe exatamente um x com P(x)" é "ou não existe nenhum x com P(x), ou existem pelo menos dois distintos com P". Em fórmulas:
\neg\exists! x\,P(x)\quad\text{é equivalente a}\quad \big(\forall x\;\neg P(x)\big)\;\lor\;\big(\exists x\exists y\,(P(x)\land P(y)\land x\neq y)\big).é
Isso é útil para provas por contradição: para refutar \exists!\,x\,P(x) basta mostrar que não há nenhum x com P ou construir dois distintos com P.

Passo 9

Observações finais importantes (pegadinhas que caem em prova):\n
  • Cuidado com a interpretação de \forall c\in C quando C é vazio: se não houver nenhum campeonato, a afirmação \forall c\in C\; V(x,c) é verdadeira para todo x (verdade vacuamente). Isso pode fazer com que muitos x satisfaçam P(x) e, portanto, a unicidade falhe — fique atento ao caso C=\varnothing.\n
  • Sempre deixe claro qual é o domínio das quantificações e o que representam os predicados; isso evita confusões na hora da prova.\n
  • Se o enunciado pedir apenas “escreva com quantificadores”, use a forma expandida da Passo 5; se aceitar símbolos de unicidade, \exists! x\,P(x) é compacto e claro.

Resposta

\exists x\Big(\forall c\in C\; V(x,c)\\ \land\\ \forall y\big(\forall c\in C\; V(y,c)\rightarrow y=x\big)\Big)

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