- Existe exatamente uma pessoa que venceu todos os campeonatos de xadrez.
Passo 1
O enunciado é a sentença em linguagem natural: “Existe exatamente uma pessoa que venceu todos os campeonatos de xadrez.”\n
Pergunta implícita: traduzir essa afirmação para lógica de predicados (formalizar) e entender como provar/nega-la.\n
Informações dadas explicitamente: só a frase acima — não há lista dos campeonatos nem nomes de pessoas.
Pergunta implícita: traduzir essa afirmação para lógica de predicados (formalizar) e entender como provar/nega-la.\n
Informações dadas explicitamente: só a frase acima — não há lista dos campeonatos nem nomes de pessoas.
Passo 2
Vamos escolher um domínio e predicados para formalizar de modo claro e simples.\n
- Domínio (universo): o conjunto de todas as pessoas; escrevemos isso só para contexto, não precisa quantificar no símbolo final.\n
- Seja
o conjunto (ou domínio) de todos os campeonatos de xadrez (todos os torneios aos quais nos referimos).\n - Definimos o predicado
como: "a pessoa venceu o campeonato ".\n
Com isso, a expressão “a pessoavenceu todos os campeonatos de xadrez” fica escrita como a fórmula
Para simplificar a escrita, defino também o predicado composto
ou seja,
significa "
venceu todos os campeonatos de
".
Passo 3
Agora explico o significado de “existe exatamente uma pessoa” em lógica.\n
Uma forma curta usa o quantificador de unicidade : a sentença que queremos é
Uma forma curta usa o quantificador de unicidade
Isso se lê: "existe exatamente um
tal que
".
Passo 4
Mas em lógica de predicados tradicional muitas vezes preferimos eliminar o símbolo
e escrever só com
,
e
.\n
A equivalência padrão para é:
A equivalência padrão para
Vou explicar cada parte dessa fórmula:\n
-
(implícita na conjunção) garante que existe pelo menos uma pessoa que venceu todos os campeonatos;\n -
garante que qualquer pessoa que também venceu todos os campeonatos deve ser igual a ; assim não há duas pessoas distintas com a propriedade — ou seja, a pessoa é única.\n
Portanto estamos escrevendo "existe uma pessoacom e qualquer outra com é a mesma pessoa ".
Passo 5
Substituindo
pela sua definição em termos de
(ou seja, expandindo totalmente), obtemos a formulação final completamente explícita:
Leitura: "existe uma pessoa
tal que (1) para todo campeonato
em
,
o venceu; e (2) qualquer pessoa
que venceu todo campeonato de
é igual a
".
Passo 6
Como provar uma afirmação desse tipo numa demonstração (passo a passo útil para prova em prova):\n
- Provar existência: encontre um candidato concreto
(ou mostre construtivamente) e prove .\n - Provar unicidade: pegue duas pessoas quaisquer
e tais que e . A partir disso demonstre . Normalmente mostra-se que da hipótese “a e b venceram todos os campeonatos” segue-se que e não podem ser distintos (algumas vezes usa-se uma propriedade adicional do contexto para concluir igualdade, ou mostra-se que assumir leva a contradição).\n
Estratégia padrão: dividir a demonstração em duas partes — (i) mostrar um exemplo que satisfaz a propriedade; (ii) assumir que existe outro que também satisfaz e derivar que é igual ao primeiro.
Passo 7
Exemplo curto e didático (controle de entendimento): suponha que
e que sabemos que a pessoa
venceu
. Então
é verdadeira. Para unicidade, assumimos que existe
tal que
e então comparamos dados concretos; se, por hipótese do problema, sabemos que não existe ninguém além de
com essas vitórias (ou podemos derivar que
por identidade de resultados), concluímos unicidade.\n
Esse exemplo mostra o formato da prova: primeiro construir o que satisfaz, depois mostrar que qualquer
com a propriedade coincide com
.
Esse exemplo mostra o formato da prova: primeiro construir o
Passo 8
Negação útil (muito pedida em exercícios): a negação de "existe exatamente um
com
" é "ou não existe nenhum
com
, ou existem pelo menos dois distintos com
". Em fórmulas:
Isso é útil para provas por contradição: para refutar
basta mostrar que não há nenhum
com
ou construir dois distintos com
.
Passo 9
Observações finais importantes (pegadinhas que caem em prova):\n
- Cuidado com a interpretação de
quando é vazio: se não houver nenhum campeonato, a afirmação é verdadeira para todo (verdade vacuamente). Isso pode fazer com que muitos satisfaçam e, portanto, a unicidade falhe — fique atento ao caso .\n - Sempre deixe claro qual é o domínio das quantificações e o que representam os predicados; isso evita confusões na hora da prova.\n
- Se o enunciado pedir apenas “escreva com quantificadores”, use a forma expandida da Passo 5; se aceitar símbolos de unicidade,
é compacto e claro.