1. Todo funcionário que trabalha no turno da manhã descansa à tarde.

Passo 1

Enunciado dado: “Todo funcionário que trabalha no turno da manhã descansa à tarde.”
O que vou entregar (o que a questão normalmente pede e eu já presumo):
  • Uma formalização lógica precisa da frase;
  • A negação dessa afirmação (ou seja, o que significa que essa afirmação seja falsa);
  • A contrapartida lógica chamada contraposicional, a recíproca (converse) e a inversa, com explicação sobre equivalências;
  • Exemplos e como provar / refutar a afirmação na prática (como você faria numa prova).

Passo 2

Definindo claramente domínio e predicados (isso é obrigatório antes de formalizar):
  • Vou usar dois modos possíveis (os dois são comuns em exercícios):
    1. Domínio = conjunto de todas as pessoas. Nesse caso preciso indicar quem é funcionário explicitamente.
    2. Domínio = conjunto de todos os funcionários. Nesse caso já assumo que todo elemento é funcionário e não preciso do predicado “é funcionário”.
Agora escolho predicados claros (cada predicado é uma propriedade que pode ser verdadeira ou falsa para uma pessoa):
  • \text{F}(x): “x é funcionário” (uso só no caso 1).
  • \text{M}(x): “x trabalha no turno da manhã”.
  • \text{D}(x): “x descansa à tarde”.
Expliquei o que cada símbolo significa para você conseguir usar na prova.

Passo 3

Formalização quando o domínio é “todas as pessoas” (mais explícita).
A frase diz “todo funcionário que (condição) tem (conclusão)”. Em lógica isso vira um quantificador universal ( \forall) com uma implicação. Como o antecedente é “ser funcionário E trabalhar de manhã”, usamos conjunção no antecedente. A formalização é:
\forall x\bigl((\text{F}(x)\land \text{M}(x))\rightarrow \text{D}(x)\bigr)
Explicação didática:
  • \forall x significa “para toda pessoa x do domínio”;
  • (\text{F}(x)\land \text{M}(x)) significa “x é funcionário e trabalha de manhã”;
  • \rightarrow \text{D}(x) significa “então x descansa à tarde”.
    Lembre-se: uma implicação P\rightarrow Q só é falsa quando P é verdadeira e Q é falsa; nos outros 3 casos é verdadeira.

Passo 4

Formalização quando o domínio é “todos os funcionários” (mais compacta).
Se assumimos que já estamos quantificando apenas sobre funcionários, não precisamos do predicado \text{F}(x). A formalização compacta fica:
\forall x\bigl(\text{M}(x)\rightarrow \text{D}(x)\bigr)
Explicação: aqui \forall x percorre apenas funcionários, e para cada um dizemos que se ele trabalha de manhã então ele descansa à tarde. Essas duas formalizações são intuitivamente compatíveis — a primeira é necessária se o domínio for todo mundo; a segunda é suficiente e mais simples se o domínio já for restrito aos funcionários.

Passo 5

Como negar essa afirmação (isso é essencial para refutar em prova).
Regra geral usada (aula pequena):
  • A negação de \forall x\,\varphi(x) é \exists x\,\neg\varphi(x).
  • A negação de uma implicação (P\rightarrow Q) é P\land\neg Q.
Aplicando à formalização do Passo 3:
\neg\Bigl(\forall x\bigl((\text{F}(x)\land \text{M}(x))\rightarrow \text{D}(x)\bigr)\Bigr)
troca \forall por \exists e nega a implicação:
\exists x\bigl((\text{F}(x)\land \text{M}(x))\land \neg\text{D}(x)\bigr).
Interpretação em linguagem natural: “Existe pelo menos uma pessoa que é funcionário, trabalha no turno da manhã e NÃO descansa à tarde.” Ou seja, para mostrar que a afirmação original é falsa você só precisa encontrar um contraexemplo: um funcionário que trabalhe de manhã e não descanse à tarde.

Passo 6

Contrapositive, converse e inverse — o que são e qual é relevante.
Definições (usando predicados P = antecedente e Q = consequência):
  • Contrapositive de P\rightarrow Q é \neg Q\rightarrow \neg P. Sempre logicamente equivalente a P\rightarrow Q.
  • Converse (recíproca) é Q\rightarrow P. Não é logicamente equivalente em geral.
  • Inverse é \neg P\rightarrow \neg Q. Também não é equivalente em geral.
Aplicando ao nosso caso (usando a versão com domínio de funcionários ou a versão com predicados):
Fórmula original (domínio funcionários):
\forall x\bigl(\text{M}(x)\rightarrow \text{D}(x)\bigr).
Contrapositiva:
\forall x\bigl(\neg\text{D}(x)\rightarrow \neg\text{M}(x)\bigr).
Interpretação: “Se um funcionário não descansa à tarde, então ele não trabalhou no turno da manhã.” Essa afirmação é logicamente equivalente à original — útil para provas pois às vezes é mais fácil trabalhar com a contrapositive.
Converse:
\forall x\bigl(\text{D}(x)\rightarrow \text{M}(x)\bigr).
Interpretação: “Todo funcionário que descansa à tarde trabalha de manhã.” Isso é uma afirmação diferente — pode ser falsa mesmo se a original for verdadeira.
Inverse:
\forall x\bigl(\neg\text{M}(x)\rightarrow \neg\text{D}(x)\bigr).
Inverse também não é equivalente à original.

Passo 7

Como provar ou refutar em uma prova (dicas práticas e exemplos):
  • Para provar a afirmativa \forall x((\text{F}(x)\land \text{M}(x))\rightarrow \text{D}(x)), faça prova universal: pegue um elemento arbitrário x, suponha \text{F}(x)\land\text{M}(x) e demonstre \text{D}(x). Use dados do problema ou regras da instituição.
  • Para refutar, basta encontrar um contraexemplo que satisfaça \text{F}(x)\land\text{M}(x)\land\neg\text{D}(x). Um único exemplo basta por causa da forma existencial da negação.
    Exemplo concreto: se na empresa existir o funcionário João tal que ele trabalhou de manhã ( \text{M}(\text{João})ã) e não descansou à tarde ( \neg\text{D}(\text{João})ã), então a afirmativa original é falsa.

Passo 8

Pequeno exercício prático rápido para fixar (você pode reproduzir na prova):
Suponha um conjunto de funcionários \{a,b\} com propriedades: \text{M}(a)=\text{verdadeiro}, \text{D}(a)=\text{verdadeiro}; \text{M}(b)=\text{verdadeiro}, \text{D}(b)=\text{falso}. Então a fórmula universal é falsa porque existe b tal que \text{M}(b)\land\neg\text{D}(b) — exatamente o contraexemplo. Isso ilustra como a negação vira \exists x(\text{M}(x)\land\neg\text{D}(x)).

Resposta

\forall x\bigl((\text{F}(x)\land \text{M}(x))\rightarrow \text{D}(x)\bigr)
\text{(equivalente, se domínio = funcionários:)}\quad \forall x\bigl(\text{M}(x)\rightarrow \text{D}(x)\bigr)íá
\text{Negação:}\quad \exists x\bigl((\text{F}(x)\land \text{M}(x))\land \neg\text{D}(x)\bigr)çã
\text{Contrapositiva:}\quad \forall x\bigl(\neg\text{D}(x)\rightarrow \neg\text{M}(x)\bigr)
\text{Converse:}\quad \forall x\bigl(\text{D}(x)\rightarrow \text{M}(x)\bigr)
\text{Inverse:}\quad \forall x\bigl(\neg\text{M}(x)\rightarrow \neg\text{D}(x)\bigr)

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