- Todo funcionário que trabalha no turno da manhã descansa à tarde.
Passo 1
Enunciado dado: “Todo funcionário que trabalha no turno da manhã descansa à tarde.”
O que vou entregar (o que a questão normalmente pede e eu já presumo):
O que vou entregar (o que a questão normalmente pede e eu já presumo):
- Uma formalização lógica precisa da frase;
- A negação dessa afirmação (ou seja, o que significa que essa afirmação seja falsa);
- A contrapartida lógica chamada contraposicional, a recíproca (converse) e a inversa, com explicação sobre equivalências;
- Exemplos e como provar / refutar a afirmação na prática (como você faria numa prova).
Passo 2
Definindo claramente domínio e predicados (isso é obrigatório antes de formalizar):
- Vou usar dois modos possíveis (os dois são comuns em exercícios):
- Domínio = conjunto de todas as pessoas. Nesse caso preciso indicar quem é funcionário explicitamente.
- Domínio = conjunto de todos os funcionários. Nesse caso já assumo que todo elemento é funcionário e não preciso do predicado “é funcionário”.
Agora escolho predicados claros (cada predicado é uma propriedade que pode ser verdadeira ou falsa para uma pessoa):
-
: “x é funcionário” (uso só no caso 1). -
: “x trabalha no turno da manhã”. -
: “x descansa à tarde”.
Expliquei o que cada símbolo significa para você conseguir usar na prova.
Passo 3
Formalização quando o domínio é “todas as pessoas” (mais explícita).
A frase diz “todo funcionário que (condição) tem (conclusão)”. Em lógica isso vira um quantificador universal ( ) com uma implicação. Como o antecedente é “ser funcionário E trabalhar de manhã”, usamos conjunção no antecedente. A formalização é:
A frase diz “todo funcionário que (condição) tem (conclusão)”. Em lógica isso vira um quantificador universal (
Explicação didática:
-
significa “para toda pessoa x do domínio”; -
significa “x é funcionário e trabalha de manhã”; -
significa “então x descansa à tarde”.
Lembre-se: uma implicaçãosó é falsa quando é verdadeira e é falsa; nos outros 3 casos é verdadeira.
Passo 4
Formalização quando o domínio é “todos os funcionários” (mais compacta).
Se assumimos que já estamos quantificando apenas sobre funcionários, não precisamos do predicado . A formalização compacta fica:
Se assumimos que já estamos quantificando apenas sobre funcionários, não precisamos do predicado
Explicação: aqui
percorre apenas funcionários, e para cada um dizemos que se ele trabalha de manhã então ele descansa à tarde. Essas duas formalizações são intuitivamente compatíveis — a primeira é necessária se o domínio for todo mundo; a segunda é suficiente e mais simples se o domínio já for restrito aos funcionários.
Passo 5
Como negar essa afirmação (isso é essencial para refutar em prova).
Regra geral usada (aula pequena):
Regra geral usada (aula pequena):
- A negação de
é . - A negação de uma implicação
é .
Aplicando à formalização do Passo 3:
troca
por
e nega a implicação:
Interpretação em linguagem natural: “Existe pelo menos uma pessoa que é funcionário, trabalha no turno da manhã e NÃO descansa à tarde.” Ou seja, para mostrar que a afirmação original é falsa você só precisa encontrar um contraexemplo: um funcionário que trabalhe de manhã e não descanse à tarde.
Passo 6
Contrapositive, converse e inverse — o que são e qual é relevante.
Definições (usando predicados = antecedente e
= consequência):
Definições (usando predicados
- Contrapositive de
é . Sempre logicamente equivalente a . - Converse (recíproca) é
. Não é logicamente equivalente em geral. - Inverse é
. Também não é equivalente em geral.
Aplicando ao nosso caso (usando a versão com domínio de funcionários ou a versão com predicados):
Fórmula original (domínio funcionários):
Fórmula original (domínio funcionários):
Contrapositiva:
Interpretação: “Se um funcionário não descansa à tarde, então ele não trabalhou no turno da manhã.” Essa afirmação é logicamente equivalente à original — útil para provas pois às vezes é mais fácil trabalhar com a contrapositive.
Converse:
Converse:
Interpretação: “Todo funcionário que descansa à tarde trabalha de manhã.” Isso é uma afirmação diferente — pode ser falsa mesmo se a original for verdadeira.
Inverse:
Inverse:
Inverse também não é equivalente à original.
Passo 7
Como provar ou refutar em uma prova (dicas práticas e exemplos):
- Para provar a afirmativa
, faça prova universal: pegue um elemento arbitrário , suponha e demonstre . Use dados do problema ou regras da instituição. - Para refutar, basta encontrar um contraexemplo que satisfaça
. Um único exemplo basta por causa da forma existencial da negação.
Exemplo concreto: se na empresa existir o funcionário João tal que ele trabalhou de manhã () e não descansou à tarde ( ), então a afirmativa original é falsa.
Passo 8
Pequeno exercício prático rápido para fixar (você pode reproduzir na prova):
Suponha um conjunto de funcionários com propriedades:
,
;
,
. Então a fórmula universal é falsa porque existe
tal que
— exatamente o contraexemplo. Isso ilustra como a negação vira
.
Suponha um conjunto de funcionários