Se existe uma força resultante atuando sobre uma particula que descreve um movimento circular uniforme, poe que a velocidade escalar da particula permanece constante?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que, mesmo havendo uma força resultante atuando sobre uma partícula que descreve um movimento circular uniforme, a velocidade escalar da partícula permanece constante.
Informações dadas (explicitadas):
  • A partícula descreve um movimento circular uniforme, ou seja, move-se numa circunferência de raio R com velocidade escalar constante (isso é o que queremos justificar).
  • Existe uma força resultante atuando sobre a partícula (não foi dito que é nula).
  • Devemos entender por que essa força não muda a velocidade escalar.

Passo 2

Representação matemática do movimento circular (para ficar concreto). Seja o vetor posição da partícula
\mathbf{r}(t)=R\big(\cos\theta(t),\;\sin\theta(t)\big),
onde R é o raio e \theta(t) é o ângulo polar que varia no tempo. A derivada temporal dá a velocidade vetorial:
\mathbf{v}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t)=R\dot{\theta}(t)\big(-\sin\theta(t),\;\cos\theta(t)\big).
Aqui \dot{\theta}(t) é a velocidade angular; ela diz quão rápido o ângulo muda.
Explicação didática: escrevemos a posição em coordenadas paramétricas (coseno e seno) porque a partícula está presa a uma circunferência de raio R. Derivar componente a componente nos dá a velocidade vetorial.

Passo 3

Definição de movimento circular uniforme aplicada: “uniforme” significa que a velocidade angular é constante, ou seja,
\dot{\theta}(t)=\omega=\text{constante}.
Substituindo em \mathbf{v}(t) obtemos
\mathbf{v}(t)=R\omega\big(-\sin\theta(t),\;\cos\theta(t)\big).
A magnitude (velocidade escalar) dessa velocidade é
v=\|\mathbf{v}(t)\|=R\omega,
que é constante porque R e \omega são constantes.
Didática: esta pequena conta mostra que, para movimento circular uniforme, a velocidade escalar é v=R\omega. Mas vamos agora ligar isso à força resultante.

Passo 4

Calcular a aceleração vetorial. Derivando \mathbf{v}(t) obtemos
\mathbf{a}(t)=\dot{\mathbf{v}}(t)=-R\dot{\theta}(t)^2\big(\cos\theta(t),\;\sin\theta(t)\big)+R\ddot{\theta}(t)\big(-\sin\theta(t),\;\cos\theta(t)\big).
Como no movimento uniforme \ddot{\theta}(t)=0 e \dot{\theta}(t)=\omega, isso simplifica para
\mathbf{a}(t)=-R\omega^2\big(\cos\theta(t),\;\sin\theta(t)\big)=-\omega^2\mathbf{r}(t).
Assim a aceleração é radial (aponta para o centro) e tem magnitude
a=R\omega^2=\frac{v^2}{R}.
Didática: a aceleração aponta para o centro da circunferência — é a famosa “aceleração centrípeta”. Note que não aparece nenhum termo tangencial (que seria proporcional a \ddot{\theta}); como \ddot{\theta}=0 não há componente tangencial.

Passo 5

Relacionando força resultante e aceleração: pela segunda lei de Newton,
\mathbf{F}=m\mathbf{a},
onde m é a massa da partícula. Como \mathbf{a} é radial (para o centro), \mathbf{F} também é radial.
Mostrando que a força é perpendicular à velocidade: o produto escalar entre \mathbf{r}(t) e \mathbf{v}(t) vale zero porque
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=R\big(\cos\theta,\sin\theta\big)\cdot R\omega\big(-\sin\theta,\cos\theta\big)=R^2\omega\big(\cos\theta(-\sin\theta)+\sin\theta\cos\theta\big)=0.
Como \mathbf{F} é paralelo a \mathbf{r} (aponta para ou de encontro ao centro) e \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{r}, segue que
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0.
Didática: produto escalar zero significa perpendicularidade. Aqui usamos que velocidade é tangencial e força (centrípeta) é radial → ângulos de 90^\circ.

Passo 6

Conectando com energia cinética e variação de velocidade. A taxa de variação da energia cinética é dada por
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
Isto é uma forma do teorema trabalho-energia (ou simplesmente que potência instantânea é P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}). Como mostramos no passo anterior \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0, segue que
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)=0.
Portanto \tfrac{1}{2}m v^2 é constante no tempo, o que implica que v^2 é constante e, como v\ge 0, v é constante.
Didática: força não nula pode mudar direção da velocidade (isto muda o vetor \mathbf{v}), mas apenas uma componente de força na direção de \mathbf{v} altera o módulo v. Se o produto escalar é zero, nenhuma mudança de módulo ocorre.

Passo 7

Explicação alternativa, mais intuitiva: em um intervalo pequeno de tempo dt a partícula desloca-se d\mathbf{s}=\mathbf{v}dt. O trabalho realizado pela força centrípeta é
\delta W=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\,dt=0,
então não há ganho ou perda de energia cinética. Sem troca de energia cinética, a velocidade escalar não muda.
Didática: pensar em trabalho é útil — se a força sempre atua perpendicularmente ao deslocamento, ela gira a velocidade (muda direção) mas não acelera nem desacelera (não muda o módulo).

Passo 8

Observação prática e conclusão pedagógica: a existência de uma força resultante não implica necessariamente variação de velocidade escalar; o que importa é a componente dessa força na direção da velocidade. Para que o módulo v mude, precisa haver componente tangencial da força ( \mathbf{F}_\text{tangencial}\neq\mathbf{0}). No movimento circular uniforme, a resultante é puramente radial (centrípeta), então não há componente tangencial e, por isso, v permanece constante.
Encorajamento: se estiver inseguro, pense num carro contornando uma curva sem acelerar nem frear — o pneu fornece força lateral que muda direção, mas se o motorista não pisa no acelerador nem no freio, a velocidade escalar do carro fica constante.

Resposta

Porque a força resultante é perpendicular à velocidade (aponta para o centro), logo \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0, não realiza trabalho e não altera a energia cinética; por isso a velocidade escalar v permanece constante.

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