Se existe uma força resultante atuando sobre uma particula que descreve um movimento circular uniforme, poe que a velocidade escalar da particula permanece constante?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que, mesmo havendo uma força resultante atuando sobre uma partícula que descreve um movimento circular uniforme, a velocidade escalar da partícula permanece constante.
Informações dadas (explicitadas):
- A partícula descreve um movimento circular uniforme, ou seja, move-se numa circunferência de raio
com velocidade escalar constante (isso é o que queremos justificar). - Existe uma força resultante atuando sobre a partícula (não foi dito que é nula).
- Devemos entender por que essa força não muda a velocidade escalar.
Passo 2
Representação matemática do movimento circular (para ficar concreto). Seja o vetor posição da partícula
onde
é o raio e
é o ângulo polar que varia no tempo. A derivada temporal dá a velocidade vetorial:
Aqui
é a velocidade angular; ela diz quão rápido o ângulo muda.
Explicação didática: escrevemos a posição em coordenadas paramétricas (coseno e seno) porque a partícula está presa a uma circunferência de raio
. Derivar componente a componente nos dá a velocidade vetorial.
Passo 3
Definição de movimento circular uniforme aplicada: “uniforme” significa que a velocidade angular é constante, ou seja,
Substituindo em
obtemos
A magnitude (velocidade escalar) dessa velocidade é
que é constante porque
e
são constantes.
Didática: esta pequena conta mostra que, para movimento circular uniforme, a velocidade escalar é
. Mas vamos agora ligar isso à força resultante.
Passo 4
Calcular a aceleração vetorial. Derivando
obtemos
Como no movimento uniforme
e
, isso simplifica para
Assim a aceleração é radial (aponta para o centro) e tem magnitude
Didática: a aceleração aponta para o centro da circunferência — é a famosa “aceleração centrípeta”. Note que não aparece nenhum termo tangencial (que seria proporcional a
); como
não há componente tangencial.
Passo 5
Relacionando força resultante e aceleração: pela segunda lei de Newton,
onde
é a massa da partícula. Como
é radial (para o centro),
também é radial.
Mostrando que a força é perpendicular à velocidade: o produto escalar entre
e
vale zero porque
Como
é paralelo a
(aponta para ou de encontro ao centro) e
é perpendicular a
, segue que
Didática: produto escalar zero significa perpendicularidade. Aqui usamos que velocidade é tangencial e força (centrípeta) é radial → ângulos de
.
Passo 6
Conectando com energia cinética e variação de velocidade. A taxa de variação da energia cinética é dada por
Isto é uma forma do teorema trabalho-energia (ou simplesmente que potência instantânea é
). Como mostramos no passo anterior
, segue que
Portanto
é constante no tempo, o que implica que
é constante e, como
,
é constante.
Didática: força não nula pode mudar direção da velocidade (isto muda o vetor
), mas apenas uma componente de força na direção de
altera o módulo
. Se o produto escalar é zero, nenhuma mudança de módulo ocorre.
Passo 7
Explicação alternativa, mais intuitiva: em um intervalo pequeno de tempo
a partícula desloca-se
. O trabalho realizado pela força centrípeta é
então não há ganho ou perda de energia cinética. Sem troca de energia cinética, a velocidade escalar não muda.
Didática: pensar em trabalho é útil — se a força sempre atua perpendicularmente ao deslocamento, ela gira a velocidade (muda direção) mas não acelera nem desacelera (não muda o módulo).
Passo 8
Observação prática e conclusão pedagógica: a existência de uma força resultante não implica necessariamente variação de velocidade escalar; o que importa é a componente dessa força na direção da velocidade. Para que o módulo
mude, precisa haver componente tangencial da força (
). No movimento circular uniforme, a resultante é puramente radial (centrípeta), então não há componente tangencial e, por isso,
permanece constante.
Encorajamento: se estiver inseguro, pense num carro contornando uma curva sem acelerar nem frear — o pneu fornece força lateral que muda direção, mas se o motorista não pisa no acelerador nem no freio, a velocidade escalar do carro fica constante.
Resposta
Porque a força resultante é perpendicular à velocidade (aponta para o centro), logo
, não realiza trabalho e não altera a energia cinética; por isso a velocidade escalar
permanece constante.