Resolva a seguinte inequação:
\frac{\log _{x}\left(\frac{1}{2}-x\right)}{\log _{x}\left(3 x-\frac{1}{2}\right)}<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo logaritmos
\frac{\log_{x}\bigl(\tfrac12 - x\bigr)}{\log_{x}\bigl(3x - \tfrac12\bigr)}<1.
O conteúdo principal é inequação logarítmica. Vamos precisar (1) determinar o domínio; (2) usar mudança de base para escrever em termos de ln; (3) analisar sinais e resolver uma inequação simples.

Passo 2

Determinar o domínio exige:
  1. Base positiva e diferente de 1: x>0 e x\neq1.
  2. \tfrac12 - x>0, isto é x<\tfrac12.
  3. 3x - \tfrac12>0, isto é x>\tfrac16.
    Como \tfrac16<1<\tfrac12, a condição x\neq1 já está garantida.
    Logo o domínio é
x\in\bigl(\tfrac16,\tfrac12\bigr).

Passo 3

Usamos mudança de base para escrevê-lo em termos de ln:
\frac{\log_{x}\bigl(\tfrac12 - x\bigr)}{\log_{x}\bigl(3x - \tfrac12\bigr)} =\frac{\ln\bigl(\tfrac12 - x\bigr)}{\ln\bigl(3x - \tfrac12\bigr)}.
Portanto a inequação vira
\frac{\ln\bigl(\tfrac12 - x\bigr)}{\ln\bigl(3x - \tfrac12\bigr)}<1.

Passo 4

Para x\in\bigl(\tfrac16,\tfrac12\bigr) temos
0<3x-\tfrac12<1 \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(3x-\tfrac12\bigr)<0.
Como o denominador é negativo, ao multiplicar ambos os lados de
\frac{\ln(\tfrac12 - x)}{\ln(3x - \tfrac12)}<1
por \ln(3x-\tfrac12) invertemos o sinal, obtendo
\ln\bigl(\tfrac12 - x\bigr)>\ln\bigl(3x - \tfrac12\bigr).

Passo 5

A função \ln é crescente, logo
\tfrac12 - x>3x - \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad 1>4x \quad\Longrightarrow\quad x<\tfrac14.

Passo 6

Interseccionando com o domínio x\in\bigl(\tfrac16,\tfrac12\bigr), obtemos a solução final
x\in\bigl(\tfrac16,\tfrac14\bigr).

Resposta

\displaystyle\bigl(\tfrac16,\tfrac14\bigr)

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