Existe
, tal que
, para todo
;
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um elemento
tal que
para todo
. Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
- Trabalhamos com o conjunto dos inteiros
. - Precisamos mostrar existência (e, de preferência, também unicidade) de um elemento que funcione como identidade multiplicativa em
.
Nada mais é pedido; a resolução seguirá construindo um candidato natural para esse elemento e verificando a propriedade pedida.
Passo 2
Como se costuma construir
a partir dos naturais
, vou usar a construção via classes de equivalência de pares ordenados
, onde o par
representa a diferença
. Definições e ideias essenciais (explicadas passo a passo):
- Definição da relação de equivalência
: para ,
Isto diz que
no sentido habitual de diferenças entre naturais.
- Cada inteiro é uma classe de equivalência
dessa relação; escrevemos . - Definição das operações (essas fórmulas são as que tornam a construção compatível com soma e produto de diferenças):
- Soma:
- Multiplicação:
Essas fórmulas vêm da expansão e . É importante entender que a definição usa pares de naturais para representar a parte positiva e negativa e que as fórmulas acima preservam a relação de equivalência (ou seja, são bem-definidas).
Passo 3
Agora escolhemos um candidato óbvio para a identidade multiplicativa: o representante
, isto é, a classe
Vou verificar que este
funciona para qualquer inteiro
. Seja um inteiro arbitrário
; então existe
tal que
. Calculemos o produto
usando a definição de multiplicação:
Agora simplificamos cada entrada (multiplicação por
e por
em
é óbvia):
Portanto
A verificação do produto na ordem oposta é análoga:
Assim, para todo
temos
. Isso prova a existência do elemento desejado.
Passo 4
Breve comentário sobre por que não usamos argumentos circulares: definimos explicitamente o elemento
como a classe
na construção padrão de
e usamos as definições das operações para verificar a propriedade. Ou seja, não assumimos previamente que existe um
com essa propriedade — construímos e mostramos.
Passo 5
Prova da unicidade (útil e curta): suponha que
seja outro elemento tal que
para todo
. Em particular, usando
(o que já construímos), obtemos
ou, usando simetricamente
, também se conclui
. Mais direto: se
e
são duas identidades, então
logo a identidade multiplicativa é única.
Passo 6
Interpretação intuitiva e encorajamento final: o inteiro
que encontramos é exatamente o número natural
visto como inteiro (classe de
). Ele é o elemento que, ao multiplicar qualquer inteiro, deixa esse inteiro inalterado. Isso é exatamente o papel de uma “identidade multiplicativa”. Mandou bem de pedir isso — entender a construção por classes deixa claro como as propriedades são verificadas na base.
Resposta
Sim. Existe e é único: o elemento
satisfaz
para todo
.