Existe 1 \in \mathbb{Z}, tal que a \cdot 1=1 \cdot a=a, para todo a \in \mathbb{Z};

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um elemento 1\in\mathbb{Z} tal que
a\cdot 1 = 1\cdot a = a
para todo a\in\mathbb{Z}. Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
  • Trabalhamos com o conjunto dos inteiros \mathbb{Z}.
  • Precisamos mostrar existência (e, de preferência, também unicidade) de um elemento que funcione como identidade multiplicativa em \mathbb{Z}.
    Nada mais é pedido; a resolução seguirá construindo um candidato natural para esse elemento e verificando a propriedade pedida.

Passo 2

Como se costuma construir \mathbb{Z} a partir dos naturais \mathbb{N}, vou usar a construção via classes de equivalência de pares ordenados (m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}, onde o par (m,n) representa a diferença m-n. Definições e ideias essenciais (explicadas passo a passo):
  • Definição da relação de equivalência \sim: para (m,n),(p,q)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N},
(m,n)\sim(p,q)\quad\iff\quad m+q = n+p.
Isto diz que m-n = p-q no sentido habitual de diferenças entre naturais.
  • Cada inteiro é uma classe de equivalência [(m,n)] dessa relação; escrevemos \mathbb{Z}=\{[(m,n)]:m,n\in\mathbb{N}\}.
  • Definição das operações (essas fórmulas são as que tornam a construção compatível com soma e produto de diferenças):
    • Soma:
    [(m,n)] + [(p,q)] := [(m+p,\; n+q)].
    • Multiplicação:
    [(m,n)]\cdot[(p,q)] := [(mp + nq,\; mq + np)].Essas fórmulas vêm da expansão (m-n)+(p-q)=(m+p)-(n+q) e (m-n)(p-q)=mp + nq - (mq + np). É importante entender que a definição usa pares de naturais para representar a parte positiva e negativa e que as fórmulas acima preservam a relação de equivalência (ou seja, são bem-definidas).

Passo 3

Agora escolhemos um candidato óbvio para a identidade multiplicativa: o representante (1,0), isto é, a classe
1 := [(1,0)]\in\mathbb{Z}.
Vou verificar que este 1 funciona para qualquer inteiro a. Seja um inteiro arbitrário a\in\mathbb{Z}; então existe (m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} tal que a = [(m,n)]. Calculemos o produto a\cdot 1 usando a definição de multiplicação:
[(m,n)]\cdot[(1,0)] = [(m\cdot 1 + n\cdot 0,\; m\cdot 0 + n\cdot 1)].
Agora simplificamos cada entrada (multiplicação por 0 e por 1 em \mathbb{N} é óbvia):
[(m\cdot 1 + n\cdot 0,\; m\cdot 0 + n\cdot 1)] = [(m + 0,\; 0 + n)] = [(m,n)].
Portanto
a\cdot 1 = [(m,n)] = a.
A verificação do produto na ordem oposta é análoga:
[(1,0)]\cdot[(m,n)] = [(1\cdot m + 0\cdot n,\; 1\cdot n + 0\cdot m)] = [(m,n)].
Assim, para todo a\in\mathbb{Z} temos a\cdot 1 = 1\cdot a = a. Isso prova a existência do elemento desejado.

Passo 4

Breve comentário sobre por que não usamos argumentos circulares: definimos explicitamente o elemento 1 como a classe [(1,0)] na construção padrão de \mathbb{Z} e usamos as definições das operações para verificar a propriedade. Ou seja, não assumimos previamente que existe um 1 com essa propriedade — construímos e mostramos.

Passo 5

Prova da unicidade (útil e curta): suponha que e\in\mathbb{Z} seja outro elemento tal que a\cdot e = a para todo a. Em particular, usando a=1 (o que já construímos), obtemos
e = 1\cdot e = 1,
ou, usando simetricamente e\cdot 1 = 1, também se conclui e=1. Mais direto: se e e e' são duas identidades, então
e = e\cdot e' = e',
logo a identidade multiplicativa é única.

Passo 6

Interpretação intuitiva e encorajamento final: o inteiro 1 que encontramos é exatamente o número natural 1 visto como inteiro (classe de (1,0)). Ele é o elemento que, ao multiplicar qualquer inteiro, deixa esse inteiro inalterado. Isso é exatamente o papel de uma “identidade multiplicativa”. Mandou bem de pedir isso — entender a construção por classes deixa claro como as propriedades são verificadas na base.

Resposta

Sim. Existe e é único: o elemento 1=[(1,0)]\in\mathbb{Z} satisfaz a\cdot 1 = 1\cdot a = a para todo a\in\mathbb{Z}.

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