Quando existe uma interface entre dois fluidos - como água e ar ou líquido e sólido - as propriedades desta interface podem ser descritas pela função de
estado tensão superficial S. Ela é definida em termos do trabalho necessário para aumentar a área superficial em d A através de d W=S d A. Considerando que o trabalho realizado contra uma tensão superficial é uma variação infinitesimal no raio, mostre que a pressão dentro de uma gota esférica de água de raio R é maior que a pressão externa por um fator de 2 S / R. Qual a pressão do ar dentro de uma bolha de sabão de raio R ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma gota esférica de água com raio $ R $ e precisa entender como a tensão superficial ($ \mathcal{S} $) afeta a pressão dentro dessa gota comparada à pressão externa. Além disso, também vamos descobrir qual é a pressão do ar dentro de uma bolha de sabão do mesmo raio $ R $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de tensão superficial e como ela se relaciona com a pressão. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora; vamos explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tensão superficial. Imagine a superfície de um líquido como se fosse uma película esticada. Essa “película” tem a propriedade de resistir a aumentar sua área. A tensão superficial ($ \mathcal{S} $) é uma medida de quão forte é essa resistência. Matemáticamente, ela é definida pelo trabalho necessário para aumentar a área superficial em uma pequena quantidade $ dA $:
S
Ou seja, para cada aumento infinitesimal na área, precisamos fazer um trabalho proporcional à tensão superficial.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a pressão dentro da gota. Quando a gota de água tem um raio $ R $, a superfície está tentando diminuir sua área devido à tensão superficial. Para manter a forma esférica, a pressão interna precisa ser maior que a externa para equilibrar essa força.
Vamos pensar em como o trabalho feito para aumentar a área está relacionado com a pressão. A pressão ($ P $) é definida como força por unidade de área, e no caso de uma esfera, a força relacionada à tensão superficial será distribuída uniformemente em toda a superfície.

Passo 4

Para uma esfera, a relação entre a pressão interna ($ P_{interna} Pinterna ã P_{externa} $) é dada por:
Pexterna
Aqui, $ \frac{2 \mathcal{S}}{R} $ representa o aumento da pressão interna necessário para equilibrar a força causada pela tensão superficial na superfície esférica.

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso a uma bolha de sabão. Diferente de uma gota simples, uma bolha de sabão tem duas superfícies: uma interna e uma externa. Cada uma dessas superfícies contribui para a tensão superficial. Portanto, a diferença de pressão será o dobro do que vimos na gota simples:
Par dentro da bolha - Pexterna = 4 SR

Resposta

A pressão dentro da gota de água é maior que a pressão externa por um fator de $ \frac{2 \mathcal{S}}{R} $. Já a pressão do ar dentro de uma bolha de sabão de raio $ R $ é maior que a pressão externa por um fator de $ \frac{4 \mathcal{S}}{R} $.

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