Um gás de caroço duro - sem interações, mas com volume excluído pode ser descrito pela equação de estado P(V-N b)=N kB T, onde b é o volume de cada partícula. Para este sistema: Encontre as relações de Maxwell envolvendo partial S /partial V|T, N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gás de caroço duro, que basicamente não interage entre as partículas, mas cada partícula ocupa um certo volume excluído. A equação de estado desse gás é dada por:
P(V - N b) = N kB T
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ N $ é o número de partículas, $ b $ é o volume excluído por partícula, $ k_{B} $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura. Nosso objetivo é encontrar as relações de Maxwell que envolvem a derivada parcial da entropia $ S $ em relação ao volume $ V $, mantendo a temperatura $ T $ e o número de partículas $ N $ constantes, ou seja, $ \left.\frac{\partial S}{\partial V}\right|_{T, N} $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica, especialmente as derivadas termodinâmicas e as relações de Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as relações de Maxwell. Elas são equações que relacionam diferentes derivadas parciais das funções termodinâmicas. Essas relações são super úteis porque nos permitem calcular derivadas que são difíceis de obter diretamente. Para chegar nelas, usamos os potenciais termodinâmicos, como a energia interna $ U $, a entalpia $ H $, a energia de Helmholtz $ F $ e a energia de Gibbs $ G $.
No nosso caso, como queremos uma relação que envolva entropia $ S $, uma boa escolha é começar com a energia interna $ U $, pois ela está relacionada diretamente com $ S $, $ V $ e $ N $.

Passo 3

A energia interna $ U $ é uma função de estado que pode ser escrita como $ U(S, V, N) $. A partir daí, podemos escrever as derivadas parciais de $ U $ em relação a $ S $ e $ V $:
U
U(S, V, N)
No entanto, como nosso gás é de caroço duro sem interações, podemos simplificar e considerar que $ \frac{\partial (N b)}{\partial V} = 0 $, então:
U

Passo 4

Agora, vamos lembrar das relações de Maxwell. Essas relações são derivadas das derivadas segundas das funções termodinâmicas, e aproveitamos a propriedade de que a ordem das derivadas não importa (teorema de Schwarz). Para a energia interna $ U(S, V, N) $, temos a seguinte relação de Maxwell:
U(S, V, N)
Essa é uma das quatro relações de Maxwell. Porém, queremos uma relação que envolva $ \frac{\partial S}{\partial V} $ em condições de temperatura constante.

Passo 5

Para obter a relação desejada, vamos usar uma função termodinâmica diferente, que facilita o envolvimento da entropia $ S $ com $ V $ e $ T $. A função de Helmholtz $ F $ é definida como:
S
A derivada de $ F $ em relação a $ V $ a temperatura constante nos dá:
V
Agora, sabendo que $ F $ é uma função de $ T $, $ V $ e $ N $, podemos escrever:
T
Onde $ \mu $ é o potencial químico. A partir dessa expressão, podemos identificar que:
F
Essa é uma das relações de Maxwell que estamos procurando.

Resposta

A relação de Maxwell que envolve $ \left.\frac{\partial S}{\partial V}\right|_{T, N} $ é:
partial Spartial V|T, N

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