Determine o limite:
lim x longrightarrow infty x^2 cos (x)-25x^2-2+3 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxtoinftyx^2cos(x)-25x^2-2+3x. O conteúdo aqui é cálculo de limites no infinito envolvendo termos polinomiais e uma função oscilante ( cos(x)). Para resolver, vamos usar o comportamento assintótico dos termos de maior grau e propriedades de funções limitadas.

Passo 2

Observamos que, para x muito grande, os termos de maior grau dominam o numerador e o denominador. Vamos fatorar x^2 em ambos:
Numerador:
x^2cos(x)-25 = x^2l(cos(x)-25x^2r)
Denominador:
x^2-2+3x = x^2l(1 + 3x - 2x^2r)
Assim, a expressão original fica:
x^2(cos(x)-25/x^2)x^2(1+3/x-2/x^2) = cos(x)-25/x^21+3/x-2/x^2

Passo 3

Ao fazer xtoinfty, temos
25x^2to0, 3xto0, 2x^2to0,
logo a expressão tende a
cos(x)1 = cos(x)
Porém cos(x) oscila entre -1 e 1 conforme xtoinfty, sem convergir a um único valor. Portanto, o limite não existe.

Passo 4

Como o limite resultante seria cos(x), que não se aproxima de um valor fixo quando xtoinfty, concluímos que o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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