Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{6}-1}{x^{4}-1}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^6-1}{x^4-1}.
Ao substituir x=1 diretamente, obtemos a forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Para eliminá-la, usaremos fatoração de diferenças de potências.

Passo 2

Fatoramos cada polinômio como diferença de quadrados ou de cubos:
x^6-1 = (x^3-1)(x^3+1),\quad x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1),
x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1),\quad x^2-1 = (x-1)(x+1).

Passo 3

Substituindo na fração original, temos
\frac{x^6-1}{x^4-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}.
Como estamos calculando o limite para x\to1 mas x\neq1 na vizinhança, podemos cancelar o fator (x-1).

Passo 4

O limite simplifica-se para
\lim_{x\to1}\frac{(x^2+x+1)(x^3+1)}{(x+1)(x^2+1)}.
Agora substituímos x=1 diretamente:
\frac{(1^2+1+1)\,(1^3+1)}{(1+1)\,(1^2+1)} = \frac{3\cdot2}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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