Considere o problema da caminhada aleatória com p=q=0,5 e permita que m=n_{1}-n_{2} represente o deslocamento efetivo ao longo da rede. Depois que o caminhante tiver dado um total de N passos, determine uma expressão para as seguintes grandezas médias:
(a) \langle m\rangle;
(b) \left\langle m^{2}\right\rangle;
(c) \left\langle m^{3}\right\rangle;
(d) \left\langle m^{4}\right\rangle.
Passo 1
O enunciado trata de um passeio aleatório unidimensional com probabilidade de dar um passo à direita ou à esquerda iguais a p=q=\tfrac12. Em N passos, o deslocamento total é
m = n_{1}-n_{2},
onde n_{1} é o número de passos à direita e n_{2} o número de passos à esquerda, com n_{1}+n_{2}=N. Vamos calcular os momentos \langle m\rangle, \langle m^{2}\rangle, \langle m^{3}\rangle e \langle m^{4}\rangle.
Passo 2
Representamos cada passo por uma variável aleatória independente
já que \langle m\rangle=0. Como os X_i são independentes e \Var(X_i)=\langle X_i^2\rangle-\langle X_i\rangle^2=1-0=1,
\langle m^{2}\rangle = \sum_{i=1}^{N}\Var(X_i) = N\cdot1 = N.
Passo 5
Para o terceiro momento observamos que cada X_i tem distribuição simétrica em torno de zero, logo \langle X_i^3\rangle=0. Empregando independência e a expansão de \langle(\sum X_i)^3\rangle em somas de termos com número ímpar de X_i, todos se anulam. Assim
\langle m^{3}\rangle = 0.
Passo 6
Para o quarto momento usamos a fórmula de momentos de soma de variáveis independentes de média zero: