Calcule
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

Resumo do que temos: precisamos calcular
\int \frac{dx}{e^{x} + e^{-x}},
que envolve manipular exponenciais e reconhecer uma integral do tipo \int du/(u^{2}+1). Vamos usar substituição para transformar em algo familiar.

Passo 2

Reescrevemos o integrando multiplicando numerador e denominador por e^{x}:
\frac{1}{e^{x} + e^{-x}} = \frac{e^{x}}{e^{x}\,(e^{x} + e^{-x})} = \frac{e^{x}}{e^{2x} + 1}.
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\int \frac{dx}{e^{x} + e^{-x}} = \int \frac{e^{x}\,dx}{e^{2x} + 1}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = e^{x}, \quad du = e^{x}\,dx.
Então a integral fica
\int \frac{e^{x}\,dx}{e^{2x} + 1} = \int \frac{du}{u^{2} + 1}.

Passo 4

Reconhecemos que
\int \frac{du}{u^{2} + 1} = \arctan(u) + C.
Voltando à variável original x, temos
\arctan(u) + C = \arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

\arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C

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