Existe a possibilidade de aplicar-se \ 50.000$ em ouro por 8 meses. A tabela abaixo dá os possíveis cenários:
Cenários Ganho Real (% a.m.) Probabilidade (%)
C1 2,5 30
C2 0,5 45
C3 -1,5 25
Qual a expectativa de resgate e o desvio-padrão?

Passo 1

O enunciado nos dá um investimento inicial de R$ 50.000 em ouro por 8 meses, cujas taxas de ganho real mensal r podem ser 2{,}5\%, 0{,}5\% ou -1{,}5\%, com probabilidades de 30\%, 45\% e 25\%, respectivamente. Vamos modelar o valor de resgate V como variável aleatória discreta e usar as fórmulas de esperança e variância para obter a expectativa de resgate e o desvio-padrão.

Passo 2

Para cada cenário i com taxa mensal r_i (em decimal) e probabilidade p_i, o valor de resgate após 8 meses é
V_i = 50\,000\,(1 + r_i)^8,
com
\,(r_1,p_1)=(0,025,0,30),
\,(r_2,p_2)=(0,005,0,45) e
\,(r_3,p_3)=(-0,015,0,25).

Passo 3

Calculamos cada V_i:
V_1 = 50\,000\,(1,025)^8 \approx 50\,000 \times 1,218409 = 60\,920,44,
V_2 = 50\,000\,(1,005)^8 \approx 50\,000 \times 1,040808 = 52\,040,38,
V_3 = 50\,000\,(0,985)^8 \approx 50\,000 \times 0,886116 = 44\,305,81.

Passo 4

A expectativa de V é
E[V] = \sum_{i=1}^3 p_i\,V_i = 0,30\times60\,920,44 + 0,45\times52\,040,38 + 0,25\times44\,305,81 \approx 52\,770,75.

Passo 5

Calculamos primeiro
E[V^2] = \sum_{i=1}^3 p_i\,V_i^2 \approx 0,30\times3{,}711{,}300{,}010 +0,45\times2{,}708{,}201{,}111 +0,25\times1{,}963{,}004{,}794 \approx 2{,}822{,}831{,}701.
A variância é
\mathrm{Var}(V) = E[V^2] - \bigl(E[V]\bigr)^2 \approx 2{,}822{,}831{,}701 - (52\,770,75)^2 \approx 38{,}119{,}200,
e o desvio-padrão é
\sigma_V = \sqrt{\mathrm{Var}(V)} \approx \sqrt{38{,}119{,}200} \approx 6\,170.

Resposta

A expectativa de resgate é de aproximadamente R$ 52.770{,}75 e o desvio-padrão é de aproximadamente R$ 6.170{,}00.

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