Considere novamente o contexto da Questão 5 da Seção 2, em que X \sim U[-1,1].
Mostre que se \mathbb{P}(-x \leq X \leq x)=p, então x=p, p \in[0,1].

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [-1,1] e pede para encontrar x em função de p sabendo que
\mathbb{P}(-x \le X \le x) = p.
O conteúdo usado é a definição de probabilidade para variável contínua uniforme: é a razão entre o comprimento do intervalo de interesse e o comprimento do suporte total.

Passo 2

Escrevemos a probabilidade como integral da densidade de X. Como X\sim U[-1,1], a densidade é
f_X(t) = \frac{1}{2},\quad t\in[-1,1],
e então
\mathbb{P}(-x \le X \le x) =\int_{-x}^{x}f_X(t)\,dt =\int_{-x}^{x}\frac{1}{2}\,dt.

Passo 3

Calculamos a integral:
\int_{-x}^{x}\frac{1}{2}\,dt =\frac{1}{2}\bigl[t\bigr]_{-x}^{x} =\frac{1}{2}\bigl(x-(-x)\bigr) =\frac{1}{2}(2x) = x.

Passo 4

Como \mathbb{P}(-x \le X \le x)=x e isso deve ser igual a p, temos
x = p,\quad p\in[0,1].

Resposta

x = p, para p\in[0,1].

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