a. Defina informalmente o conceito de variável aleatória (v.a.) contínua, e dê alguns exemplos.
b. Discorra brevemente sobre porque em geral \mathbb{P}(a \leq X \leq b)=\mathbb{P}(X \leq b)-\mathbb{P}(X \leq a) no caso contínuo, mas no caso discreto temos \mathbb{P}(a \leq X \leq b) =\mathbb{P}(X \leq b)-\mathbb{P}(X<a), a \leq b, a, b \in \mathbb{R}.
c. Defina a esperança de uma v.a. contínua X, \mathbb{E}(X). Qual a principal diferença no cálculo de \mathbb{E}(X) no caso contínuo? Existe alguma diferença de interpretação do valor de \mathbb{E}(X) entre os casos contínuo e discreto?
d. Defina a esperança de uma v.a. contínua X, \operatorname{var}(X). Qual a principal diferença no cálculo de \operatorname{var}(X) no caso contínuo? Existe alguma diferença de interpretação do valor de \operatorname{var}(X) entre os casos contínuo e discreto?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas relacionadas a variáveis aleatórias (v.a.) contínuas versus discretas:
– (a) uma definição informal de v.a. contínua e exemplos;
– (b) por que em contínuo \mathbb{P}(a\le X\le b)=\mathbb{P}(X\le b)-\mathbb{P}(X\le a) mas em discreto aparece \mathbb{P}(X<a) em vez de \mathbb{P}(X\le a);
– (c) definição de esperança em contínuo, diferença no cálculo e na interpretação em comparação ao caso discreto;
– (d) definição de variância em contínuo, diferença no cálculo e na interpretação em comparação ao caso discreto.
Conteúdo envolvido: noções de distribuição de probabilidade, função densidade, função de repartição, expectativa e variância.

Passo 2

(a) Uma v.a. X é dita contínua quando ela pode assumir um conjunto não enumerável (geralmente um intervalo de \mathbb{R}) de valores e para cada ponto x tem \mathbb{P}(X=x)=0. Em vez de atribuir massas a pontos isolados, descrevemos X por uma densidade f_X(x) tal que
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt.
Exemplos comuns:
– Uniforme em [0,1] com f_X(x)=1 para x\in[0,1].
– Normal N(0,1) com
f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.
– Exponencial de parâmetro \lambda>0 com
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge0.

Passo 3

(b) Em contínuo temos \mathbb{P}(X=a)=0 para todo ponto a. Logo
\mathbb{P}(a\le X\le b) =\mathbb{P}(X\le b)-\mathbb{P}(X<a) =\mathbb{P}(X\le b)-\mathbb{P}(X\le a),
pois \mathbb{P}(X<a)=\mathbb{P}(X\le a)-\mathbb{P}(X=a)=\mathbb{P}(X\le a).
Em discreto, entretanto, \mathbb{P}(X=a) pode ser positivo, então
\mathbb{P}(a\le X\le b) =\mathbb{P}(X\le b)-\mathbb{P}(X<a)
garante que não estamos subtraindo também \mathbb{P}(X=a).

Passo 4

(c) A esperança de X contínua é
\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f_X(x)\,dx.
A principal diferença de cálculo em relação ao discreto é que a soma \sum_x x\,\mathbb{P}(X=x) vira um integral com densidade. Em termos de interpretação, não há diferença: \mathbb{E}(X) continua sendo o “valor médio” ou centro de massa da distribuição.

Passo 5

(d) A variância de X contínua é
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}\bigl[(X-\mathbb{E}(X))^2\bigr] =\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\,f_X(x)\,dx, \quad\mu=\mathbb{E}(X).
Novamente, a diferença do cálculo para o caso discreto é a passagem da soma para o integral. A interpretação de variância como medida de dispersão continua idêntica nos dois casos.

Resposta

a. Uma v.a. é contínua quando assume valores em intervalos de \mathbb{R} com \mathbb{P}(X=x)=0 e se descreve por uma densidade f_X(x). Exemplos: uniforme em [0,1], normal N(0,1), exponencial.
b. Em contínuo \mathbb{P}(X=a)=0, logo
\mathbb{P}(a\le X\le b)=\mathbb{P}(X\le b)-\mathbb{P}(X\le a).
Em discreto \mathbb{P}(X=a)>0, então usa-se
\mathbb{P}(a\le X\le b)=\mathbb{P}(X\le b)-\mathbb{P}(X<a)
para não contar \mathbb{P}(X=a) duas vezes.
c.
\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f_X(x)\,dx.
A soma discreta vira integral, mas o significado de valor médio é o mesmo.
d.
\mathrm{Var}(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mathbb{E}(X))^2\,f_X(x)\,dx.
Também se troca soma por integral, e a interpretação de dispersão não muda.

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