a. Defina informalmente o conceito de variável aleatória (v.a.) contínua, e dê alguns exemplos.
b. Discorra brevemente sobre porque em geral
no caso contínuo, mas no caso discreto temos
.
c. Defina a esperança de uma v.a. contínua
. Qual a principal diferença no cálculo de
no caso contínuo? Existe alguma diferença de interpretação do valor de
entre os casos contínuo e discreto?
d. Defina a esperança de uma v.a. contínua
. Qual a principal diferença no cálculo de
no caso contínuo? Existe alguma diferença de interpretação do valor de
entre os casos contínuo e discreto?
b. Discorra brevemente sobre porque em geral
c. Defina a esperança de uma v.a. contínua
d. Defina a esperança de uma v.a. contínua
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas relacionadas a variáveis aleatórias (v.a.) contínuas versus discretas:
– (a) uma definição informal de v.a. contínua e exemplos;
– (b) por que em contínuo mas em discreto aparece
em vez de
;
– (c) definição de esperança em contínuo, diferença no cálculo e na interpretação em comparação ao caso discreto;
– (d) definição de variância em contínuo, diferença no cálculo e na interpretação em comparação ao caso discreto.
Conteúdo envolvido: noções de distribuição de probabilidade, função densidade, função de repartição, expectativa e variância.
– (a) uma definição informal de v.a. contínua e exemplos;
– (b) por que em contínuo
– (c) definição de esperança em contínuo, diferença no cálculo e na interpretação em comparação ao caso discreto;
– (d) definição de variância em contínuo, diferença no cálculo e na interpretação em comparação ao caso discreto.
Conteúdo envolvido: noções de distribuição de probabilidade, função densidade, função de repartição, expectativa e variância.
Passo 2
(a) Uma v.a.
é dita contínua quando ela pode assumir um conjunto não enumerável (geralmente um intervalo de
) de valores e para cada ponto
tem
. Em vez de atribuir massas a pontos isolados, descrevemos
por uma densidade
tal que
Exemplos comuns:
– Uniforme em com
para
.
– Normal com
– Uniforme em
– Normal
– Exponencial de parâmetro
com
Passo 3
(b) Em contínuo temos
para todo ponto
. Logo
pois
.
Em discreto, entretanto, pode ser positivo, então
Em discreto, entretanto,
garante que não estamos subtraindo também
.
Passo 4
(c) A esperança de
contínua é
A principal diferença de cálculo em relação ao discreto é que a soma
vira um integral com densidade. Em termos de interpretação, não há diferença:
continua sendo o “valor médio” ou centro de massa da distribuição.
Passo 5
(d) A variância de
contínua é
Novamente, a diferença do cálculo para o caso discreto é a passagem da soma para o integral. A interpretação de variância como medida de dispersão continua idêntica nos dois casos.
Resposta
a. Uma v.a. é contínua quando assume valores em intervalos de
com
e se descreve por uma densidade
. Exemplos: uniforme em
, normal
, exponencial.
b. Em contínuo
, logo
.
Em discreto , então usa-se
para não contar duas vezes.
Em discreto
para não contar
c.
A soma discreta vira integral, mas o significado de valor médio é o mesmo.
d.
Também se troca soma por integral, e a interpretação de dispersão não muda.