Existem 7 bandeiras (de mesmo formato), sendo 3 vermelhas e 3 brancas e uma azul. Dispondo-as ordenadamente num mastro, quantos sinais diferentes podem ser emitidos com elas?
200
20
140
150
20
Passo 1
O enunciado diz que existem
bandeiras, sendo
vermelhas,
brancas e
azul. As bandeiras têm o mesmo formato (logo, duas bandeiras da mesma cor são indistinguíveis entre si). A pergunta é: quantos sinais diferentes podem ser emitidos dispondo essas
bandeiras ordenadamente num mastro?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Total de bandeiras:
. - Quantidade de bandeiras vermelhas:
. - Quantidade de bandeiras brancas:
. - Quantidade de bandeiras azuis:
. - Bandeiras da mesma cor são indistinguíveis (idênticas entre si).
- Queremos o número de arranjos distintos em ordem (permutações com repetição).
Passo 2
Vamos entender a ideia básica: se todas as bandeiras fossem diferentes entre si, o número de maneiras de ordenar
objetos distintos é dado por
(lê-se “sete fatorial”), que é o produto
Explicando o porquê: para a primeira posição do mastro temos
escolhas, para a segunda restam
, depois
, e assim por diante, multiplicando todas essas possibilidades.
Passo 3
Agora o detalhe importante: aqui há objetos idênticos (as bandeiras da mesma cor). Quando contamos todas as permutações como se fossem distintas, estamos contando várias vezes arranjos que, na prática, são iguais porque trocar duas bandeiras da mesma cor não gera um sinal novo. Para corrigir esse excesso de contagens, dividimos pelo fatorial da quantidade de cada tipo idêntico.
A fórmula geral para o número de permutações de um multiconjunto com
objetos, dos quais
são de um tipo,
de outro, etc., é
Aqui
é o total de objetos, e
é a quantidade de objetos idênticos do tipo
. A razão intuitiva: permutações que apenas trocam entre si os
objetos idênticos aparecem
vezes quando contamos usando
; para eliminar essa multiplicidade dividimos por
, e assim por diante para cada tipo.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
, com
(vermelhas),
(brancas) e
(azul). Então o número de arranjos distintos é
Observe que
, então não altera o valor, mas é mostrado para ficar claro que estamos aplicando a fórmula completa.
Passo 5
Agora fazemos as contas passo a passo, sem pular etapas:
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Então
Agora dividimos:
Passo 6
Um exemplo menor para fixar a ideia: suponha que tenhamos
bandeiras,
vermelhas idênticas e
azul. Pelo mesmo raciocínio o número de arranjos é
De fato, listando: (V,V,A), (V,A,V) e (A,V,V) — são exatamente
arranjos distintos. Esse exemplo mostra por que dividimos por
quando há duas idênticas.
Passo 7
Conclusão: voltando ao problema original, o número de sinais diferentes possíveis ao dispor as
bandeiras no mastro é
. Força aí — é só aplicar a fórmula e calcular direitinho na prova!