Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações:
Número de filhos 0 1 2 3 4 5 6
Frêquencia das famílias 17 20 28 19 7 4 5
Qual a variância do número de filhos?
\bigcirc 2,47
2,00
1,59
\bigcirc 2,52

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequência com 100 famílias e pede a variância do número de filhos. Dados fornecidos (extraí diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} \text{Número de filhos } x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline \text{Frequência } f & 17 & 20 & 28 & 19 & 7 & 4 & 5 \end{array}úê
A pergunta é: qual a variância do número de filhos?

Passo 2

Antes de calcular, preciso explicar o que é variância e as fórmulas que podemos usar (explicação didática e útil para a prova).
  • Intuição: a variância mede o quão os valores x se espalham em torno da média. Valores próximos à média dão variância pequena; valores muito dispersos dão variância maior.
  • Fórmulas importantes (para variáveis discretas com frequências):
    • A média (esperança amostral) é
    \bar{x}=\frac{1}{n}\sum f x,
    onde n=\sum f é o total de observações (aqui n=100), f são as frequências e x os valores.
    • A média do quadrado é
    E[X^2]=\frac{1}{n}\sum f x^2.
    • A variância populacional (se a tabela representar toda a população) pode ser calculada por
    \sigma^2 = E[X^2] - (\bar{x})^2.
    • A variância amostral não viciada (quando os dados são uma amostra e queremos estimar a variância da população) usa divisão por n-1:
    s^2 = \frac{1}{n-1}\sum f (x-\bar{x})^2.
    Uma forma prática e muito usada na prova é usar a relação
    s^2 = \frac{n}{n-1}\bigl(E[X^2] - (\bar{x})^2\bigr),
    porque \sum f (x-\bar{x})^2 = n\bigl(E[X^2] - (\bar{x})^2\bigr). Vou calcular ambas as variâncias e indicar qual faz sentido escolher.

Passo 3

Por que calcular as duas? O enunciado só perguntou “a variância” sem dizer se é a variância populacional ou a amostral. Em muitas provas de estatística, quando se trata de uma amostra de famílias, espera-se o estimador amostral (dividir por n-1). Além disso, olhando as alternativas (vou comparar depois), a opção que coincide com dividir por n-1 aparece entre as alternativas. Portanto vou mostrar os cálculos completos e, no final, escolher a resposta que faz sentido comumente em provas (variância amostral s^2).

Passo 4

Calcular a média \bar{x}. Primeiro computamos \sum f x:
\begin{aligned} \sum f x &= 0\cdot17 + 1\cdot20 + 2\cdot28 + 3\cdot19 + 4\cdot7 + 5\cdot4 + 6\cdot5\\\ &= 0 + 20 + 56 + 57 + 28 + 20 + 30 = 211. \end{aligned}
Como n=100, a média é
\bar{x}=\frac{211}{100}=2{,}11.

Passo 5

Calcular E[X^2]=\dfrac{1}{n}\sum f x^2. Primeiro \sum f x^2:
\begin{aligned} \sum f x^2 &= 0^2\cdot17 + 1^2\cdot20 + 2^2\cdot28 + 3^2\cdot19 + 4^2\cdot7 + 5^2\cdot4 + 6^2\cdot5\\\ &= 0 + 20 + 112 + 171 + 112 + 100 + 180 = 695. \end{aligned}
Então
E[X^2]=\frac{695}{100}=6{,}95.

Passo 6

Calcular a variância populacional \sigma^2 (apenas para referência):
\sigma^2 = E[X^2] - (\bar{x})^2 = 6{,}95 - (2{,}11)^2.
Calculemos (2{,}11)^2 = 4{,}4521. Portanto
\sigma^2 = 6{,}95 - 4{,}4521 = 2{,}4979 \approx 2{,}50.
Isto é a variância se tratarmos os 100 registros como a população inteira.

Passo 7

Calcular a variância amostral s^2 (estimador não viciado, dividindo por n-1). Usando a fórmula prática,
s^2 = \frac{n}{n-1}\bigl(E[X^2] - (\bar{x})^2\bigr).
Substituindo n=100 e a diferença calculada no passo anterior:
s^2 = \frac{100}{99}\cdot 2{,}4979 = \frac{249{,}79}{99} \approx 2{,}5231 \approx 2{,}52.
Essa é a variância que normalmente se aponta como resposta quando os dados são uma amostra e se pede “a variância” em contexto de estimativa.

Passo 8

Interpretação final e escolha: a variância populacional deu aproximadamente 2{,}4979 (ou 2{,}50 arredondado) e a variância amostral (não viciada) deu aproximadamente 2{,}5231 (ou 2{,}52). Entre as alternativas apresentadas, a que corresponde ao cálculo padrão de estimador amostral é 2{,}52. Em provas, quando se tem uma amostra e alternativas como essa, o esperado costuma ser usar n-1, então a resposta correta é 2{,}52.

Resposta

2{,}52

Exercícios relacionados