Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações:
Número de filhos
0
1
2
3
4
5
6
Frêquencia das famílias
17
20
28
19
7
4
5
Qual a variância do número de filhos?
2,47
2,00
1,59
2,52
| Número de filhos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Frêquencia das famílias | 17 | 20 | 28 | 19 | 7 | 4 | 5 |
2,00
1,59
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de frequência com
famílias e pede a variância do número de filhos. Dados fornecidos (extraí diretamente da tabela do enunciado):
A pergunta é: qual a variância do número de filhos?
Passo 2
Antes de calcular, preciso explicar o que é variância e as fórmulas que podemos usar (explicação didática e útil para a prova).
-
Intuição: a variância mede o quão os valores
se espalham em torno da média. Valores próximos à média dão variância pequena; valores muito dispersos dão variância maior. -
Fórmulas importantes (para variáveis discretas com frequências):
- A média (esperança amostral) é
ondeé o total de observações (aqui ), são as frequências e os valores. - A média do quadrado é
- A variância populacional (se a tabela representar toda a população) pode ser calculada por
- A variância amostral não viciada (quando os dados são uma amostra e queremos estimar a variância da população) usa divisão por
:
Uma forma prática e muito usada na prova é usar a relaçãoporque. Vou calcular ambas as variâncias e indicar qual faz sentido escolher.
Passo 3
Por que calcular as duas? O enunciado só perguntou “a variância” sem dizer se é a variância populacional ou a amostral. Em muitas provas de estatística, quando se trata de uma amostra de famílias, espera-se o estimador amostral (dividir por
). Além disso, olhando as alternativas (vou comparar depois), a opção que coincide com dividir por
aparece entre as alternativas. Portanto vou mostrar os cálculos completos e, no final, escolher a resposta que faz sentido comumente em provas (variância amostral
).
Passo 4
Calcular a média
. Primeiro computamos
:
Como
, a média é
Passo 5
Calcular
. Primeiro
:
Então
Passo 6
Calcular a variância populacional
(apenas para referência):
Calculemos
. Portanto
Isto é a variância se tratarmos os
registros como a população inteira.
Passo 7
Calcular a variância amostral
(estimador não viciado, dividindo por
). Usando a fórmula prática,
Substituindo
e a diferença calculada no passo anterior:
Essa é a variância que normalmente se aponta como resposta quando os dados são uma amostra e se pede “a variância” em contexto de estimativa.
Passo 8
Interpretação final e escolha: a variância populacional deu aproximadamente
(ou
arredondado) e a variância amostral (não viciada) deu aproximadamente
(ou
). Entre as alternativas apresentadas, a que corresponde ao cálculo padrão de estimador amostral é
. Em provas, quando se tem uma amostra e alternativas como essa, o esperado costuma ser usar
, então a resposta correta é
.