1. Existem dois elementos com estruturas cristalinas diferentes, Fe(CCC) e Al(CFC). Sabendo que na borda da célula do Fe, o comprimento não ocupado pelos átomos é de 0,389 Å, e que a concentração atômica superficial do plano mais denso do Fe é 1.187 vezes a do plano mais denso de Al. Conhecendo estes dados:
    a) Determine os raios atômicos de ambos os elementos.
    b) Calcule as densidades de ambos os elementos.

Passo 1

O enunciado trata de dois metais, um com estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, no caso o Fe) e outro com estrutura cúbica de faces centradas (CFC, o Al).
Para o Fe sabemos que, num lado da célula, o trecho não ocupado pelos átomos vale 0,389:AA, e o plano de maior concentração atômica do Fe é 1,187 vezes o do Al.
Vamos usar:
– Para Fe (CCC): os átomos nos cantos e o do centro se tocam ao longo da diagonal do cubo, e ao longo da aresta existe um vão de 0,389:AA.
– Para Al (CFC): a densidade de átomos no plano 111 é 4raiz3,aAl^2, e no Fe o plano 110 é raiz2aFe^2.

Passo 2

Determinar o raio atômico do Fe.
Se aFe é a aresta do cubo, pelo contato ao longo da diagonal:
4RFe = raiz3,aFe
Pelo vão na aresta:
aFe - 2RFe = 0,389:AA
Resolvendo o sistema:
aFe = 2RFe + 0,389, 4RFe = raiz3,(2RFe+0,389)
4RFe = 2raiz3,RFe + 0,389raiz3 ;Longrightarrow; RFe,(4 - 2raiz3) = 0,389raiz3 ;Longrightarrow; RFe = 0,389raiz34-2raiz3approx 1,26:AA
E daí
aFe = 2cdot1,26 + 0,389 = 2,903:AA

Passo 3

Determinar o raio do Al pelo fato de
PD110,,FePD111,,Al =1,187,
onde
PD110,,Fe = raiz2aFe^2, PD111,,Al = 4raiz3,aAl^2
Logo
raiz2/aFe^24/(raiz3,aAl^2) =1,187 ;Longrightarrow; raiz2,raiz3,aAl^24,aFe^2 = 1,187 ;Longrightarrow; aAl^2 = aFe^2;1,187cdot4raiz6 approx aFe^2cdot1,9388
Como aFe=2,903:AA, segue
aAl = 2,903raiz1,9388 approx 4,041:AA
Em CFC vale 4RAl = raiz2,aAl, então
RAl = raiz2,aAl4 approx 1,4142cdot4,0414 approx 1,43:AA

Passo 4

Calcular as densidades. A densidade é
rho = n,MNA,a^3,
onde n é o número de átomos por cela, M a massa molar e NA a constante de Avogadro.
Para o Fe (CCC) temos n=2, MFe=55,85:g/mol, aFe=2,903times10^-8:cm:
rhoFe = 2cdot55,856,022times10^23,(2,903times10^-8)^3 approx 7,57:g/cm^3
Para o Al (CFC) temos n=4, MAl=26,98:g/mol, aAl=4,041times10^-8:cm:
rhoAl = 4cdot26,986,022times10^23,(4,041times10^-8)^3 approx 2,71:g/cm^3

Resposta

(a) RFe=1,26:AA, \quad RAl=1,43:AA
(b) rhoFe=7,57:g/cm^3, \quad rhoAl=2,71:g/cm^3

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