Existem dois elementos com estruturas cristalinas diferentes, Fe(CCC) e Al(CFC). Sabendo que na borda da célula do Fe, o comprimento não ocupado pelos átomos é de 0,389 Å, e que a concentração atômica superficial do plano mais denso do Fe é 1.187 vezes a do plano mais denso de Al. Conhecendo estes dados:
b) Calcule as densidades de ambos os elementos.

Passo 1

A questão dá dois metais: ferro (Fe) com rede cúbica de corpo centrado (CCC) e alumínio (Al) com rede cúbica de faces centradas (CFC).
Dados:
– No Fe, o trecho “vazio” ao longo da aresta da cela é
a - 2r = 0,389AA,
sendo r o raio atômico e a o parâmetro de rede.
– A densidade atômica superficial do plano mais denso do Fe ({ 110}) é 1,187 vezes a do plano mais denso do Al ({ 111}):
Ns^rm FeNs^rm Al = 1,187
Pede– se a densidade ( rho) de cada elemento. Vamos então (i) achar arm Fe e depois rhorm Fe, e (ii) usar a razão de densidades superficiais para obter arm Al e daí rhorm Al.

Passo 2

Determinação de arm Fe e rhorm Fe.
Na estrutura CCC, os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo, mas ao longo da aresta ficam separados de modo que
r = raiz34,a, a - 2r = 0,389AA
Logo
al(1 - tfracraiz32r) = 0,389AA Longrightarrow arm Fe = 0,3891 - tfracraiz32 approx 2,904AA
Massa por célula: há 2 átomos por cela, cada átomo com massa molar 55,85,g/mol e NA=6,022times10^23,mol ^-1, logo
mrm cel^rm Fe = 2;55,856,022times10^23;g approx 1,854times10^-22,g
Volume da cela:
Vrm cel^rm Fe = arm Fe^3 = (2,904times10^-8,cm)^3 approx 2,449times10^-23,cm^3
Assim
rhorm Fe = mrm cel^rm FeVrm cel^rm Fe approx 1,854times10^-222,449times10^-23 approx 7,57g/cm^3

Passo 3

Determinação de arm Al via razão de densidades superficiais.
Para CCC({ 110}) vale
Ns^rm Fe = 2raiz2,arm Fe^2,
e para CFC({ 111})
Ns^rm Al = 4raiz3,arm Al^2
Com
Ns^rm FeNs^rm Al = 1,187 Longrightarrow tfrac2raiz2,arm Fe^2tfrac4raiz3,arm Al^2 = 1,187
Longrightarrow arm Al^2arm Fe^2 = 4raiz22raiz3;1,187 = 2raiz2raiz3;1,187 approx (1,392)^2 Longrightarrow arm Alapprox 1,392,arm Fe approx 1,392times2,904AA approx 4,041AA

Passo 4

Cálculo de rhorm Al.
Célula CFC tem 4 átomos:
mrm cel^rm Al = 4;26,986,022times10^23;g approx 1,793times10^-22,g,
Vrm cel^rm Al = (4,041times10^-8,cm)^3 approx 6,601times10^-23,cm^3,
rhorm Al = mrm cel^rm AlVrm cel^rm Al approx 1,793times10^-226,601times10^-23 approx 2,72g/cm^3

Resposta

rhorm Feapprox 7,57 g/cm^3
rhorm Alapprox 2,72 g/cm^3

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